Momento de inercia de sólidos esféricos

Enunciado

Calcule el momento de inercia de una esfera maciza, de masa M y radio R alrededor de un eje que pasa por su centro.

A partir del resultado anterior, halle el momento de inercia de una esfera hueca, de masa M, radio interior R₁ y exterior R₂ respecto a un eje que pasa por su centro. ¿A qué se reduce el resultado cuando la corona se reduce a una superficie esférica de radio R?

Esfera maciza

Existen diferentes formas de abordar este problema, que es un clásico de cálculo integral.

Aquí lo haremos considerando la esfera como superposición de discos de espesor diferencial.

Si tenemos un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r} , altura diferencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}z} , su momento de inercia, también diferencial, es el correspondiente a un cilindro macizo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}I = \frac{1}{2}\mathrm{d}m\,r^2}

siendo la masa de cada disco el producto de la densidad por el volumen

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V= \pi\rho r^2\,\mathrm{d}z}

La densidad de una esfera maciza homogénea es igual a la masa total dividida por el volumen total

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho = \frac{M}{4\pi R^3/3}=\frac{3M}{4\pi R^3}}

lo que nos da el diferencial de masa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}m = \frac{3M r^2\,\mathrm{d}z}{4 R^3}}

y de momento de inercia

$\mathrm {d} I={\frac {3Mr^{4}}{8R^{3}}}\,\mathrm {d} z$

El momento de inercia total de la esfera será la suma de los de todos los discos apilados

$I=\int _{M}\mathrm {d} I=\int _{-R}^{R}{\frac {3Mr^{4}}{8R^{3}}}\,\mathrm {d} z$

En esta integral aparece el radio de cada disco, pero la variable de integración es la altura z a la que se encuentra cada uno (considerando el origen en el centro de la esfera). Estas dos cantidades se relacionan por el teorema de Pitágoras

$r^{2}+z^{2}=R^{2}\,$

lo que nos deja con la integral

$I={\frac {3M}{8R^{3}}}\int _{-R}^{R}(R^{2}-z^{2})^{2}\,\mathrm {d} z$

con solución

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = \frac{2}{5}M R^2}

Corona esférica

Cuando tenemos una corona esférica, de masa M, radio interior Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_1} y exterior Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_2} , podemos emplear la misma técnica que en otros problemas y considerar masas negativas.

La corona esférica puede verse como la superposición de una esfera de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_2} y densidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\rho} con una de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_1} , densidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\rho} , concéntrica con la primera.

La masa de cada esfera sería

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M_2 = \frac{4\pi}{3}\rho R_2^3\qquad \qquad M_1 = -\frac{4\pi}{3}\rho R_1^3}

debiéndose cumplir que la masa total valga Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M = M_1 + M_2 = \frac{4\pi}{3}\rho (R_2^3-R_1^3) \qquad\Rightarrow\qquad \rho = \frac{3M}{4\pi(R_2^3-R_1^3)}}

Los momentos de inercia de cada esfera valen, de la misma manera,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_2=\frac{2}{5}M_2R_2^2 = \frac{8\pi}{15}\rho R_2^5\qquad \qquad I_1 = \frac{2}{5}M_1R_1^3 = -\frac{8\pi}{15}\rho R_1^5}

Sumando las dos contribuciones hallamos el momento de inercia de la esfera completa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I=I_1+I_2= \frac{8\pi \rho (R_2^5-R_1^5)}{15}}

Sustituimos aquí el valor de la densidad de masa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = \frac{2M(R_2^5-R_1^5)}{5(R_2^3-R_1^3)}}

Esfera hueca

La expresión anterior conduce a la de una esfera maciza sin más que hacer Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_1=0} .

Para obtener el momento de inercia de una superficie esférica de masa M y radio R hay que ser más cuidadoso, ya que al hacer Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_1 = R_2=R} aparece una indeterminación del tipo 0/0. Puede resolverse aplicando la regla de L'Hôpital

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = \lim_{R_1\to R}\frac{2M(R^5-R_1^5)}{5(R^3-R_1^3)}= \frac{2M}{5}\,\frac{(-5R^4)}{(-3R^2)}= \frac{2}{3}MR^2}