Cinemática de dos barras articuladas (CMR)

Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud b situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra (“sólido 2”) tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él formando un ángulo φ(t) respecto a un sistema de ejes fijos ${OX}_{1}Y_{1}$. La segunda barra (“sólido 3”) está articulada en el extremo A de la primera de manera que forma un ángulo θ(t) con la prolongación del sólido 0. En función de θ, φ y sus derivadas y con ayuda de un sistema ${OX}_{2}Y_{2}$ ligado a la primera barra…

1. Calcule la velocidad del punto de articulación A y del extremo libre B de la segunda barra respecto al sistema fijo “1”.
2. Localice la posición del centro instantáneo de rotación $I_{31}$ del movimiento de la segunda barra respecto a los ejes fijos.
3. Halle la aceleración del extremo B y del centro G del sólido 3 respecto al sistema fijo.

Sistemas de referencia

Emplearemos tres sistemas de referencia:

• El sistema fijo 1, que consideramos inmóvil.
• El sistema 2, ligado a la primera varilla, con el mismo origen, y tal que el eje ${OX}_{2}$ está alineado con ella. Cuando $\theta =0$, este eje es coincidente con el ${OX}_{1}$. La relación de la base de este sistema con la del sistema 1 la da una rotación de un ángulo $\phi$:

${\vec {\imath }}_{2}=\cos(\phi ){\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\phi ){\vec {\jmath }}_{1}\qquad \qquad {\vec {\jmath }}_{2}=-\mathrm {sen} (\phi ){\vec {\imath }}_{1}+\cos(\phi ){\vec {\jmath }}_{1}$

En este sistema, la posición del extremo A respoecto al origen es

${\overrightarrow {OA}}=b{\vec {\imath }}_{2}$

y la velocidad angular de este sólido

$\omega _{21}={\dot {\phi }}$

usamos cantidades escalares porque al tratarse de un problema plano todas las velocidades angulares tienen la misma dirección (el sentido lo da el signo).

• Un sistema 3, ligado a la segunda varilla, con el eje ${OX}_{3}$ a lo largo de ella. Cuando $\theta =0$, coincide con ${OX}_{2}$. La relación de la base de este sistema con la del sistema 2 la da una rotación de un ángulo θ:

${\vec {\imath }}_{3}=\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{2}+\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{2}\qquad \qquad {\vec {\jmath }}_{3}=-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{2}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}_{2}$

La posición del extremo B respecto a A es

${\overrightarrow {AB}}=b{\vec {\imath }}_{3}$

La velocidad angular de la varilla 3 respecto a la 2 es

$\omega _{32}={\dot {\theta }}$

y respecto al sistema fijo

$\omega _{31}=\omega _{32}+\omega _{21}={\dot {\theta }}+{\dot {\phi }}$

Velocidades

De A

La velocidad de A es simplemente la de una rotación en torno a O

${\vec {v}}_{21}^{A}=\omega _{01}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {OA}}={\dot {\phi }}{\vec {k}}\times (b{\vec {\imath }}_{2})=b{\dot {\phi }}{\vec {\jmath }}_{2}$

De B

La velocidad de B la obtenemos mediante el campo de velocidades

${\vec {v}}_{31}^{B}={\vec {v}}_{31}^{A}+\omega _{31}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AB}}={\vec {v}}_{31}^{A}+({\dot {\phi }}+{\dot {\theta }}){\vec {k}}\times (b{\vec {\imath }}_{3}$

El punto A, por ser una articulación entre “2” y “3”, tiene la misma velocidad en ambos sólidos respecto al “1”

${\vec {v}}_{31}^{A}={\vec {v}}_{32}^{A}+{\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {0}}+b{\dot {\phi }}{\vec {\jmath }}_{2}$

y, por tanto, la velocidad de B es

${\vec {v}}_{31}^{B}=b{\dot {\phi }}{\vec {\jmath }}_{2}+b({\dot {\phi }}+{\dot {\theta }}){\vec {\jmath }}_{3}$

Si queremos expresar esta velocidad empleando exclusivamente la base “2” simplemente desarrollamos el último vector

${\vec {v}}_{31}^{B}=-b({\dot {\phi }}+{\dot {\theta }})\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{2}+b({\dot {\phi }}+({\dot {\phi }}+{\dot {\theta }})\cos(\theta )){\vec {\jmath }}_{2}$

Centros instantáneos de rotación

Del movimiento {21}

Este es simplemente el punto O, alrededor del cual gira la barra OA.

Del movimiento {32}

Este es A, alrededor del cual gira la barra AB en este movimiento.

Del movimiento {31}

Este debe estar alineado con los dos anteriores. Obtenemos su posición a partir de la velocidad de A

${\overrightarrow {AI}}_{31}={\frac {{\vec {k}}\times {\vec {v}}_{31}^{A}}{\omega _{31}}}={\frac {-b{\dot {\phi }}}{{\dot {\phi }}+{\dot {\theta }}}}{\vec {\imath }}_{2}$

y, respecto al origen de coordenadas

${\overrightarrow {OI}}_{31}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AI}}_{31}={\frac {b{\dot {\theta }}}{{\dot {\phi }}+{\dot {\theta }}}}{\vec {\imath }}_{2}$

Este centro se encuentra efectivamente alineado con los otros dos, al hallarse sobre la recta OA. Dependiendo de los signos de las velocidades angulares, puede estar entre O y A, fuera del segmento o incluso en el infinito (caso de una traslación si ${\dot {\theta }}=-{\dot {\phi }}$).

Aceleraciones

La aceleración de B la calculamos hallando primero la de A

${\vec {a}}_{21}^{A}=\alpha _{21}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {OA}}-\omega _{21}^{2}{\overrightarrow {OA}}=-b{\dot {\phi }}^{2}{\vec {\imath }}_{2}+b{\ddot {\phi }}{\vec {\jmath }}_{2}$ ${\vec {a}}_{31}^{A}=\overbrace {{\vec {a}}_{32}^{A}} ^{={\vec {0}}}+{\vec {a}}_{21}^{A}+2\omega _{21}{\vec {k}}\times \overbrace {{\vec {v}}_{32}^{A}} ^{={\vec {0}}}=-b{\dot {\phi }}^{2}{\vec {\imath }}_{2}+b{\ddot {\phi }}{\vec {\jmath }}_{2}$

y a continuación la de B

${\vec {a}}_{31}^{B}={\vec {a}}_{31}^{A}+\alpha _{31}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AB}}-\omega _{31}^{2}{\overrightarrow {AB}}=-b{\dot {\phi }}^{2}{\vec {\imath }}_{2}+b{\ddot {\phi }}{\vec {\jmath }}_{2}-b({\dot {\phi }}+{\dot {\theta }})^{2}{\vec {\imath }}_{3}+b({\ddot {\phi }}+{\ddot {\theta }}){\vec {\jmath }}_{3}$

El escribir este resultado en una sola base complica notablemente la expresión.

La aceleración de G, el punto medio de A y B, es

${\vec {a}}_{31}^{G}={\frac {{\vec {a}}_{31}^{A}+{\vec {a}}_{31}^{B}}{2}}=-b{\dot {\phi }}^{2}{\vec {\imath }}_{2}+b{\ddot {\phi }}{\vec {\jmath }}_{2}-{\frac {b}{2}}({\dot {\phi }}+{\dot {\theta }})^{2}{\vec {\imath }}_{3}+{\frac {b}{2}}({\ddot {\phi }}+{\ddot {\theta }}){\vec {\jmath }}_{3}$