Partícula en alambre parabólico

Enunciado

Una pequeña anilla de masa m está ensartada en un alambre de forma parabólica, situado en un plano vertical. Esta parábola tiene su vértice en $O(0,0,0)$ y cuando la partícula se halla a una distancia $b$ del eje, su altura es $(b/2)$, con $b$ fijado. Este alambre parabólico se hace girar alrededor del eje con velocidad angular constante Ω. No hay rozamiento entre la anilla y el alambre

1. Escriba las ecuaciones de vínculo para la posición de la anilla, en coordenadas cartesianas y en coordenadas cilíndricas. ¿De qué clase de vínculos se trata?
2. Escriba las ecuaciones de vínculo en forma cinemática y en forma pfaffiana.
3. Escriba las ecuaciones de movimiento para esta partícula, en cartesianas y en polares, incluyendo las fuerzas de reacción vincular necesarias.

Ecuaciones de vínculo

Forma parabólica

La parábola es de la forma, en cilíndricas

$z=A\rho ^{2}\,$

Si imponemos que pase por el punto $(b,b/2)$ queda la ecuación

$z={\frac {\rho ^{2}}{2b}}$

Pasando a cartesianas

$z={\frac {x^{2}+y^{2}}{2b}}$

o, equivalentemente

$x^{2}+y^{2}-2bz=0\,$

Este es un vínculo geométrico, bilateral, esclerónomo, liso y holónomo.

Rotación

Al estar en rotación, se cumple, en cilíndricas,

$\theta =\Omega t\,$

lo que nos da las coordenadas cartesianas

$x=\rho \cos(\Omega t)\qquad \qquad y=\rho \,\mathrm {sen} (\Omega t)$

Eliminamos ρ de estas ecuaciones y queda

$-x\,\mathrm {sen} (\Omega t)+y\cos(\Omega t)=0\,$

Este es un vínuclo geométrico, bilateral, reónomo, liso y holónomo.

Vínculos en forma cinemática

Forma parabólica

Derivando respecto al tiempo y dividiendo por 2 obtenemos la forma cinemática

$x{\dot {x}}+y{\dot {y}}-b{\dot {z}}=0$

y, multiplicando por $\mathrm {d} t$ su forma pfaffiana

$x\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y-2b\,\mathrm {d} z=0$

En cilíndricas partimos de

$\rho ^{2}-2bz=0\,$

que da

$\rho {\dot {\rho }}-b{\dot {z}}=0\qquad \Rightarrow \qquad \rho \,\mathrm {d} \rho -b\,\mathrm {d} z=0$

Rotación

Derivando en la ecuación de vínculo

$-{\dot {x}}\,\mathrm {sen} (\Omega t)-x\Omega \cos(\Omega t)+{\dot {y}}\cos(\Omega t)-y\Omega \,\mathrm {sen} (\Omega t)=0$

Multiplicamos por $\mathrm {d} t$

$-\mathrm {sen} (\Omega t)\,\mathrm {d} x+\cos(\Omega t)\,\mathrm {d} y-(x\cos(\Omega t)+y\,\mathrm {sen} (\Omega t))\mathrm {d} t=0$

En este caso, en cilíndricas queda claramente más simple

${\dot {\theta }}-\Omega =0\qquad \Rightarrow \qquad \mathrm {d} \theta -\Omega \,\mathrm {d} t=0$