Juego con bola y caja, Junio 2024 (G.I.C.)

Enunciado

La figura ilustra un juego muy simple. Se trata de golpear una bola de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} con un taco en reposo en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} , de modo que, justo después del impacto, se mueve con velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0} horizontal, como se muestra en la figura. Después del impacto, la bola se mueve en caída libre, con rozamiento del aire despreciable. Se gana en el juego si se consigue que la bola entre en la caja Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle BC} de la figura. En lo que sigue, modelaremos la bola como una partícula puntual de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} .

1. Escribe las expresiones de los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t)} que describen la posición de la bola en cada instante de tiempo.
2. Encuentra el instante de tiempo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_h} , para el cual la distancia de la bola al suelo (el eje OX) es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} .
3. Encuentra que condiciones debe cumplir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_0|} para ganar el juego.
4. Si la velocidad de salida de la partícula es $v_{0}=1.0\,\mathrm {m/s}$, y su masa es $m=1.00\,\mathrm {kg}$, ¿cuál es el impulso mecánico impartido por el taco a la partícula?

Solución

Movimiento de la bola

La bola se mueve en caída libre con una aceleración

${\vec {a}}=0\,{\vec {\imath }}-g\,{\vec {\jmath }}.$

Vemos que el movimiento horizontal es un MRU y el movimiento vertical es un MRUA. Las condiciones iniciales para la velocidad son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(0) = v_0\,\vec{\imath} + 0\,\vec{\jmath}. }

Por tanto, la velocidad de la bola en cada instante de tiempo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t) = v_0\,\vec{\imath} - gt\,\vec{\jmath}. }

Las condiciones iniciales para el vector de posición son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(0) = 0\,\vec{\imath} + 2h\,\vec{\jmath}. }

Por tanto, la posición de la bola en cada instante de tiempo viene dada por el vector

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = v_0t\,\vec{\imath} + \left(2h - \dfrac{1}{2} gt^2\right)\,\vec{\jmath}. }

Instante en que la distancia de la bola al suelo es h

Para que la distancia de la bola al suelo, es decir, al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} , debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(t_h) = h \Longrightarrow 2h - \dfrac{1}{2}gt_h^2 = h \Longrightarrow t_h = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}. }

Condiciones para ganar el juego

Para que la bola entre en la caja, es necesario que en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_h} calculado en el apartado anterior, la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} de la bola sea tal que esta se encuentre entre los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} . Es decir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_B \leq x(t_h) \leq x_C. }

Utilizando los resultados de los dos apartados anteriores obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t_h) = v_0 t_h = v_0\sqrt{\dfrac{2h}{g}}. }

De la primera condición obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_B \leq x(t_h) \Longrightarrow h \leq v_0\sqrt{\dfrac{2h}{g}} \Longrightarrow v_0 \geq \sqrt{\dfrac{gh}{2}}. }

De la condición con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C } tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_C \geq x(t_h) \Longrightarrow 2h \geq v_0\sqrt{\dfrac{2h}{g}} \Longrightarrow v_0 \leq \sqrt{2gh}. }

Por tanto, las condiciones que debe cumplir la rapidez inicial de la bola son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{\dfrac{gh}{2}} \leq v_0 \leq \sqrt{2gh}. }

Impulso mecánico en la impulsión inicial

En el instante inicial, la bola pasa del reposo a tener una velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0} . Por tanto, el impulso mecánico realizado sobre la bola es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{I} = \Delta\vec{p} = m\Delta\vec{v} = m\vec{v}_0 = 1.0\,\mathrm{kg\,m/s}. }