Revisión del 11:47 11 abr 2024 de Antonio(discusión | contribs.)(Página creada con «==Enunciado== {{nivel|3}} A partir del resultado del problema “Campo de un anillo homogéneo” calcule el campo en los puntos del eje de un disco circular de radio ''b'', en el cual existe una carga ''Q'' distribuida uniformemente. ==Solución== Una vez que tenemos el campo de un anillo <center><math>\vec{E}(z\vec{k})=\frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(b^2+z^2)^{3/2}}\vec{k}</math>…»)
A partir del resultado del problema “Campo de un anillo homogéneo” calcule el campo en los puntos del eje de un disco circular de radio b, en el cual existe una carga Q distribuida uniformemente.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}(z\vec{k})=\frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(b^2+z^2)^{3/2}}\vec{k}}
podemos hallar el de un disco considerándolo como compuesto de anillos concéntricos. Cada uno de estos anillos tiene una carga
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}q = \sigma_s\,\mathrm{d}S = \sigma_s(2\pi r')\,\mathrm{d}r'=\frac{2Q}{b^2}r'\,\mathrm{d}r'}
siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r'}
el radio de cada anillo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}r'}
su espesor y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma_s}
la densidad de carga del disco
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma_s=\frac{Q}{\pi b^2}}
El campo que produce cada uno de estos anillos es, según el apartado anterior
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{E}=\frac{\mathrm{d}q\,z}{4\pi\varepsilon_0(r'^2+z^2)^{3/2}}\vec{k}=\frac{2\pi\sigma_s)zr'\mathrm{d}r'\,\vec{k}}{4\pi\varepsilon_0(r'^2+z^2)^{3/2}}}
El campo total será la suma del de todos los anillos, cuyo radio varía desde 0 hasta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
, el radio del disco
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}=\int_0^b \frac{\sigma_s zr'\mathrm{d}r'\,\vec{k}}{2\varepsilon_0(r'^2+z^2)^{3/2}} = \frac{\sigma_sz\vec{k}}{2\varepsilon_0}\int_0^b\frac{r'\mathrm{d}r'}{(r'^2+z^2)^{3/2}}}
Esta integral se resuelve con el cambio de variable Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u= r'^2+z^2}
y el resultado es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}(z) = \frac{\sigma_sz\vec{k}}{2\varepsilon_0}\left.\frac{-1}{\sqrt{r'^2+z^2}}\right|_0^b=\frac{\sigma_s\vec{k}}{2 \varepsilon_0}\left(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}\right)}
A la hora de sustituir los límites de integración hay que tener cuidado con los signos, ya que la raíz cuadrada es siempre positiva (máxime, tratándose de una distancia), por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{z^2}=|z| \neq z}
Este campo es, como en el caso del anillo, en la dirección del eje, con sentido hacia afuera (positivo para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z> 0}
y negativo para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z < 0}
), pero no se anula en el centro. En el caso del anillo tenemos que se produce una discontinuidad de salto. Tenemos que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{z}{|z|} = \begin{cases}+1 & z > 0\\ -1 & z < 0 \end{cases}}
por lo que si nos acercamos a z=0 por encima del disco obtenemos el campo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}(0^+) = \frac{\sigma_s}{2\varepsilon_0}\left(+1-0\right)\vec{k}= \frac{\sigma_s}{2\varepsilon_0}\vec{k}}
y por debajo de él
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}(0^-) = \frac{\sigma_s}{2\varepsilon_0}\left(-1-0\right)\vec{k}= -\frac{\sigma_s}{2\varepsilon_0}\vec{k}}
Tiene la misma magnitud en los dos límites, pero sentido opuesto. El salto en el campo vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}(0^+)-\vec{E}(0^-)=\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\vec{k}}
A partir del resultado del problema “Campo de un anillo homogéneo” calcule el campo en los puntos del eje de un disco circular de radio b, en el cual existe una carga Q distribuida uniformemente.
