Horquilla y disco Segunda Prueba de Control (G.I.A.)

Enunciado

El sistema de la figura consiste en una horquilla semicircular (sólido "0"), que siempre está paralela al plano fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1Y_1} (sólido "1"). El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} de dicho aro (siempre el mismo) se desplaza con velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v} sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} , a la vez que el aro gira con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega} alrededor de dicho eje fijo. Un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} (sólido "2"), se mueve respecto a "0" girando alrededor del diámetro común Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AB} , con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} .

Nota: Los valores de $\Omega$, $\omega$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v} pueden ser positivos o negativos.

1. ¿Cuándo es nula la velocidad mínima del movimiento {21}?
2. Qué debe ocurrir para que el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento pase por el centro del disco? Calcule en este caso la derivada temporal de la reducción cinemática
3. ¿Qué condición debe cumplirse para que el movimiento {21} sea una rotación instantánea y el eje instantáneo de rotación pase por el centro del disco?

Solución

Reducciones cinemáticas

Vamos a encontrar las reducciones cinemáticas de los tres movimientos presentes.

Movimiento {01}

Esta es la rotación y traslación de la horquilla. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_0 \qquad\qquad \vec{v}\,^O_{01} = v\,\vec{k}_0 }

Movimiento {20}

Esta es la rotación del disco. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{\jmath}_0 \qquad\qquad \vec{v}\,^C_{20} = \vec{0} }

Observese que, para un observador que se mueve con la horquilla (sólido “0”) el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} es un punto en reposo permanente pues, en todo instante se tiene que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}=R\!\ \vec{\imath}_0\mathrm{,}\,\;\,(\mathrm{cte.})}

Movimiento {21}

Usamos las leyes de composición.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{\jmath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0 }

Reducimos la velocidad en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rl} \vec{v}\,^C_{21}& = \vec{v}\,^C_{20} + \vec{v}\,^C_{01} \\ & \\ &\vec{v}\,^C_{20} = \vec{0} \\ & \\ &\vec{v}\,^C_{01} = \vec{v}\,^O_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC} = v\,\vec{k}_0 + R\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 \end{array} }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}\,^C_{21} = R\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 +v\,\vec{k}_0 }

Velocidad mínima de {21} nula

El movimiento del disco respecto del sistema de referencia fijo será rotación instantánea cuando la velocidad mínima del movimiento {21} sea nula (con un vector rotación instantánea no nulo). Y esto ocurrirá cuando el invariante escalar sea nulo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}\,^C_{21} = 0 \longrightarrow R\,\Omega\,\omega + v\,\Omega = 0 \longrightarrow v=-\omega\,R }

EIRMD para el movimiento {21}

Por definición, éste es el lugar geométrico formado por todos los puntos que se mueven solidariamente con el disco “2” y cuya velocidad, medida por el sistema de refencia “1”, es paralela a la rotación instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}} . Y como sabemos, se trata de una recta paralela al dicho vector rotación y que pasa por un punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} , cuya posición puede determinarse en cada instante a partir de la reducción cinemática:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_{21}^\mathrm{EIRMD}:\overrightarrow{O_1X}=\overrightarrow{OI}_{21}+\lambda\!\ \vec{\omega}_{21}\quad\,(\lambda\in\mathrm{I}\! \mathrm{R})}

La posición del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} , respecto del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} utilizado en la reducción cinemática (centro de reducción), viene dada por el segmento orientado...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CI}_{21} = \dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}\,^C_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2} = \dfrac{\omega\,v - R\,\Omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0 }

La posición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} , respecto del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} se obtiene fácilmente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{21} =\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{CI}_{21} = \dfrac{\omega\,(v + R\,\omega)}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0 }

Es decir, el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_{21}^\mathrm{EIRMD}} está contenido en todo momento en un plano parelelo al Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_0Z_0} y pasa por un punto del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} (el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21})} , cuya posición está determinada por los valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega} .

EIRMD por el centro del disco

Para que pase por el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C } debe ocurrir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CI}_{21} = \vec{0}\; \Longleftrightarrow\; v = R\,\Omega^2/\omega }

EIRMD por el centro del disco y rotación instantánea

Para que el movimiento {21} sea una rotación instantánea el invariante escalar debe ser nulo, esto es, debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = -\omega\,R }

Pero en este caso la posición de un punto del EIRMD respecto del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C } viene dada por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CI}_{21} = -R\,\vec{\imath}_0 }

y el EIRMD no pasaría por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C } . De hecho pasaría por el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } . Por tanto esta situación no puede ocurrir nunca.

Variación instantánea de las magnitudes cinemáticas del {21}

Para poder determinar la aceleración de cualquier punto del disco “2”, debemos conocer la derivada temporal de los elementos que constituyen las reducción cinemática de dicho movimiento; es decir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=\vec{\alpha}_{21}(t)\,\mathrm{;}\,\quad\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^C}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=\vec{a}_{21}^C(t)}

De las relaciones del movimiento relativo, sabemos que...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} }

En esta expresión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}} es la variación instantánea del vector rotación en el movimiento {20}. Pero, como se vio al obtener la reducción cinemática de dicho movimiento, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}} es un vector constante en módulo, dirección y sentido para el observador “0”. Y exactamente lo mismo ocurre con el vector rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}} , cuando es observado por el sistema de referencia fijo (sólido “1”), de manera que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}\displaystyle\vec{\alpha}_{20}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\ t\\ \\ \displaystyle\vec{\alpha}_{01}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\ t\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;\;\;\vec{\alpha}_{21}(t)=\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=-\omega\Omega\!\ \vec{\imath}_0(t)}

La aceleración “absoluta” (en el movimiento {21}) del centro del disco, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , viene dada por la expresión general:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle\vec{a}_{21}^C=\vec{a}_{20}^C+\vec{a}_{01}^C+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^C }

Como se indicó en la reducción cinemática del movimiento {20}, el centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} del disco es un punto en reposo permanente en dicho movimiento, luego tanto la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{20}^C} , como la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{20}^C} , son nulas en todo momento; entonces...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}\displaystyle\vec{a}_{20}^C=\vec{0}\\ \\ \displaystyle2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^C=\vec{0}\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;\;\;\vec{a}_{21}^C=\vec{a}_{01}^C=\vec{a}_{01}^O+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OC}+\vec{\omega}_{01}\times\left(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}\right)}

Teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}=R\vec{\imath}_0} y asumiendo que, en general, el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} de la horquilla recorre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} con velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t)} , función del tiempo, se tendrá:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^C(t)=\vec{a}_{01}^O-|\vec{\omega}_{01}|^2\!\ \overrightarrow{OC}=\dot{v}(t)\!\ \vec{k}_1-R\Omega^2\!\ \vec{\imath}_0(t)}

Como se vio anteriormente, para que el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_{21}^\mathrm{EIRMD}} pase por el centro del disco, la velocidad de deslizamiento de la horquilla sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} debía ser Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=R\Omega^2/\omega} , constante, al serlo los factores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} . Por tanto, en este caso particular se tendrá:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^C(t)=-R\Omega^2\!\ \vec{\imath}_0(t)}