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Horquilla y disco Segunda Prueba de Control (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El sistema de la figura consiste en una horquilla semicircular (sólido "0"), que siempre está paralela al plano fijo O1X1Y1 (sólido "1"). El punto O de dicho aro (siempre el mismo) se desplaza con velocidad v sobre el eje O1Z1, a la vez que el aro gira con velocidad angular constante Ω alrededor de dicho eje fijo. Un disco de radio R (sólido "2"), se mueve respecto a "0" girando alrededor del diámetro común AB, con velocidad angular constante ω.

Nota: Los valores de Ω, ω y v pueden ser positivos o negativos.

  1. ¿Cuándo es nula la velocidad mínima del movimiento {21}?
  2. Qué debe ocurrir para que el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento pase por el centro del disco? Calcule en este caso la derivada temporal de la reducción cinemática
  3. ¿Qué condición debe cumplirse para que el movimiento {21} sea una rotación instantánea y el eje instantáneo de rotación pase por el centro del disco?

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas

Vamos a encontrar las reducciones cinemáticas de los tres movimientos presentes.

2.1.1 Movimiento {01}

Esta es la rotación y traslación de la horquilla. Tenemos


\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_0 \qquad\qquad \vec{v}\,^O_{01} = v\,\vec{k}_0

2.1.2 Movimiento {20}

Esta es la rotación del disco. Tenemos


\vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{\jmath}_0 \qquad\qquad \vec{v}\,^C_{20} = \vec{0}

Observese que, para un observador que se mueve con la horquilla (sólido “0”) el punto C es un punto en reposo permanente pues, en todo instante se tiene que

\overrightarrow{OC}=R\!\ \vec{\imath}_0\mathrm{,}\,\;\,(\mathrm{cte.})

2.1.3 Movimiento {21}

Usamos las leyes de composición.


\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = 
\omega\,\vec{\jmath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0

Reducimos la velocidad en el punto C


\begin{array}{rl}
\vec{v}\,^C_{21}&  = \vec{v}\,^C_{20} + \vec{v}\,^C_{01}
\\ & \\
&\vec{v}\,^C_{20} = \vec{0}
\\ & \\
&\vec{v}\,^C_{01} = \vec{v}\,^O_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}
=
v\,\vec{k}_0 + R\,\Omega\,\vec{\jmath}_0
\end{array}

Por tanto


\vec{v}\,^C_{21} = R\,\Omega\,\vec{\jmath}_0
+v\,\vec{k}_0

2.1.4 Velocidad mínima de {21} nula

El movimiento del disco respecto del sistema de referencia fijo será rotación instantánea cuando la velocidad mínima del movimiento {21} sea nula (con un vector rotación instantánea no nulo). Y esto ocurrirá cuando el invariante escalar sea nulo:


\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}\,^C_{21} = 0 
\longrightarrow
R\,\Omega\,\omega + v\,\Omega = 0
\longrightarrow
v=-\omega\,R

2.2 EIRMD para el movimiento {21}

Por definición, éste es el lugar geométrico formado por todos los puntos que se mueven solidariamente con el disco “2” y cuya velocidad, medida por el sistema de refencia “1”, es paralela a la rotación instantánea \vec{\omega}_{21}. Y como sabemos, se trata de una recta paralela al dicho vector rotación y que pasa por un punto I21, cuya posición puede determinarse en cada instante a partir de la reducción cinemática:

\Delta_{21}^\mathrm{EIRMD}:\overrightarrow{O_1X}=\overrightarrow{OI}_{21}+\lambda\!\ \vec{\omega}_{21}\quad\,(\lambda\in\mathrm{I}\! \mathrm{R})

La posición del punto I21, respecto del punto C utilizado en la reducción cinemática (centro de reducción), viene dada por el segmento orientado...


\overrightarrow{CI}_{21} = \dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}\,^C_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2}
=
\dfrac{\omega\,v - R\,\Omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0

La posición de I21, respecto del punto O1 se obtiene fácilmente:


\overrightarrow{OI}_{21} =\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{CI}_{21} = \dfrac{\omega\,(v + R\,\omega)}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0

Es decir, el eje \Delta_{21}^\mathrm{EIRMD} está contenido en todo momento en un plano parelelo al OY0Z0 y pasa por un punto del eje OX0 (el I21), cuya posición está determinada por los valores de v, ω y Ω.

2.2.1 EIRMD por el centro del disco

Para que pase por el punto C debe ocurrir


\overrightarrow{CI}_{21} = \vec{0}\; \Longleftrightarrow\; v = R\,\Omega^2/\omega

2.2.2 EIRMD por el centro del disco y rotación instantánea

Para que el movimiento {21} sea una rotación instantánea el invariante escalar debe ser nulo, esto es, debe cumplirse


v = -\omega\,R

Pero en este caso la posición de un punto del EIRMD respecto del punto C viene dada por


\overrightarrow{CI}_{21} = -R\,\vec{\imath}_0

y el EIRMD no pasaría por C. De hecho pasaría por el punto O. Por tanto esta situación no puede ocurrir nunca.

2.3 Variación instantánea de las magnitudes cinemáticas del {21}

Para poder determinar la aceleración de cualquier punto del disco “2”, debemos conocer la derivada temporal de los elementos que constituyen las reducción cinemática de dicho movimiento; es decir:

\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=\vec{\alpha}_{21}(t)\,\mathrm{;}\,\quad\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^C}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=\vec{a}_{21}^C(t)

De las relaciones del movimiento relativo, sabemos que...

\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}

En esta expresión \vec{\alpha}_{20} es la variación instantánea del vector rotación en el movimiento {20}. Pero, como se vio al obtener la reducción cinemática de dicho movimiento, \vec{\omega}_{20} es un vector constante en módulo, dirección y sentido para el observador “0”. Y exactamente lo mismo ocurre con el vector rotación \vec{\omega}_{01}, cuando es observado por el sistema de referencia fijo (sólido “1”), de manera que:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle\vec{\alpha}_{20}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\ t\\ \\
\displaystyle\vec{\alpha}_{01}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\ t\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;\;\;\vec{\alpha}_{21}(t)=\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=-\omega\Omega\!\ \vec{\imath}_0(t)

La aceleración “absoluta” (en el movimiento {21}) del centro del disco, C, viene dada por la expresión general:


\displaystyle\vec{a}_{21}^C=\vec{a}_{20}^C+\vec{a}_{01}^C+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^C

Como se indicó en la reducción cinemática del movimiento {20}, el centro C del disco es un punto en reposo permanente en dicho movimiento, luego tanto la velocidad \vec{v}_{20}^C, como la aceleración \vec{a}_{20}^C, son nulas en todo momento; entonces...

\left.\begin{array}{l}\displaystyle\vec{a}_{20}^C=\vec{0}\\ \\
\displaystyle2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^C=\vec{0}\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;\;\;\vec{a}_{21}^C=\vec{a}_{01}^C=\vec{a}_{01}^O+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OC}+\vec{\omega}_{01}\times\left(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}\right)

Teniendo en cuenta que \overrightarrow{OC}=R\vec{\imath}_0 y asumiendo que, en general, el punto O de la horquilla recorre el eje O1Z1 con velocidad v(t), función del tiempo, se tendrá:

\vec{a}_{21}^C(t)=\vec{a}_{01}^O-|\vec{\omega}_{01}|^2\!\ \overrightarrow{OC}=\dot{v}(t)\!\ \vec{k}_1-R\Omega^2\!\ \vec{\imath}_0(t)

Como se vio anteriormente, para que el \Delta_{21}^\mathrm{EIRMD} pase por el centro del disco, la velocidad de deslizamiento de la horquilla sobre el eje O1Z1 debía ser v = RΩ2 / ω, constante, al serlo los factores R, Ω y ω. Por tanto, en este caso particular se tendrá:

\vec{a}_{21}^C(t)=-R\Omega^2\!\ \vec{\imath}_0(t)

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