Enunciado

El sistema de la figura consiste en una horquilla semicircular (sólido "0"), que siempre está paralela al plano fijo (sólido "1"). El punto de dicho aro (siempre el mismo) se desplaza con velocidad sobre el eje , a la vez que el aro gira con velocidad angular constante alrededor de dicho eje fijo. Un disco de radio (sólido "2"), se mueve respecto a "0" girando alrededor del diámetro común , con velocidad angular constante .

Nota: Los valores de , y pueden ser positivos o negativos.

  1. ¿Cuándo es nula la velocidad mínima del movimiento {21}?
  2. Qué debe ocurrir para que el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento pase por el centro del disco? Calcule en este caso la derivada temporal de la reducción cinemática
  3. ¿Qué condición debe cumplirse para que el movimiento {21} sea una rotación instantánea y el eje instantáneo de rotación pase por el centro del disco?

Solución

Reducciones cinemáticas

Vamos a encontrar las reducciones cinemáticas de los tres movimientos presentes.

Movimiento {01}

Esta es la rotación y traslación de la horquilla. Tenemos

Movimiento {20}

Esta es la rotación del disco. Tenemos

Observese que, para un observador que se mueve con la horquilla (sólido “0”) el punto es un punto en reposo permanente pues, en todo instante se tiene que

Movimiento {21}

Usamos las leyes de composición.

Reducimos la velocidad en el punto

Por tanto

Velocidad mínima de {21} nula

El movimiento del disco respecto del sistema de referencia fijo será rotación instantánea cuando la velocidad mínima del movimiento {21} sea nula (con un vector rotación instantánea no nulo). Y esto ocurrirá cuando el invariante escalar sea nulo:

EIRMD para el movimiento {21}

Por definición, éste es el lugar geométrico formado por todos los puntos que se mueven solidariamente con el disco “2” y cuya velocidad, medida por el sistema de refencia “1”, es paralela a la rotación instantánea . Y como sabemos, se trata de una recta paralela al dicho vector rotación y que pasa por un punto , cuya posición puede determinarse en cada instante a partir de la reducción cinemática:

La posición del punto , respecto del punto utilizado en la reducción cinemática (centro de reducción), viene dada por el segmento orientado...

La posición de , respecto del punto se obtiene fácilmente:

Es decir, el eje está contenido en todo momento en un plano parelelo al y pasa por un punto del eje (el , cuya posición está determinada por los valores de , y .

EIRMD por el centro del disco

Para que pase por el punto debe ocurrir

EIRMD por el centro del disco y rotación instantánea

Para que el movimiento {21} sea una rotación instantánea el invariante escalar debe ser nulo, esto es, debe cumplirse

Pero en este caso la posición de un punto del EIRMD respecto del punto viene dada por

y el EIRMD no pasaría por . De hecho pasaría por el punto . Por tanto esta situación no puede ocurrir nunca.

Variación instantánea de las magnitudes cinemáticas del {21}

Para poder determinar la aceleración de cualquier punto del disco “2”, debemos conocer la derivada temporal de los elementos que constituyen las reducción cinemática de dicho movimiento; es decir:

De las relaciones del movimiento relativo, sabemos que...

En esta expresión es la variación instantánea del vector rotación en el movimiento {20}. Pero, como se vio al obtener la reducción cinemática de dicho movimiento, es un vector constante en módulo, dirección y sentido para el observador “0”. Y exactamente lo mismo ocurre con el vector rotación , cuando es observado por el sistema de referencia fijo (sólido “1”), de manera que:

La aceleración “absoluta” (en el movimiento {21}) del centro del disco, , viene dada por la expresión general:

Como se indicó en la reducción cinemática del movimiento {20}, el centro del disco es un punto en reposo permanente en dicho movimiento, luego tanto la velocidad , como la aceleración , son nulas en todo momento; entonces...

Teniendo en cuenta que y asumiendo que, en general, el punto de la horquilla recorre el eje con velocidad , función del tiempo, se tendrá:

Como se vio anteriormente, para que el pase por el centro del disco, la velocidad de deslizamiento de la horquilla sobre el eje debía ser , constante, al serlo los factores , y . Por tanto, en este caso particular se tendrá: