Horquilla y disco Segunda Prueba de Control (G.I.A.)

Enunciado

El sistema de la figura consiste en una horquilla semicircular (sólido "0"), que siempre está paralela al plano fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}$ (sólido "1"). El punto $O$ de dicho aro (siempre el mismo) se desplaza con velocidad $v$ sobre el eje $O_{1}Z_{1}$, a la vez que el aro gira con velocidad angular constante $\Omega$ alrededor de dicho eje fijo. Un disco de radio $R$ (sólido "2"), se mueve respecto a "0" girando alrededor del diámetro común $AB$, con velocidad angular constante $\omega$.

Nota: Los valores de $\Omega$, $\omega$ y $v$ pueden ser positivos o negativos.

1. ¿Cuándo es nula la velocidad mínima del movimiento {21}?
2. Qué debe ocurrir para que el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento pase por el centro del disco? Calcule en este caso la derivada temporal de la reducción cinemática
3. ¿Qué condición debe cumplirse para que el movimiento {21} sea una rotación instantánea y el eje instantáneo de rotación pase por el centro del disco?

Solución

Reducciones cinemáticas

Vamos a encontrar las reducciones cinemáticas de los tres movimientos presentes.

Movimiento {01}

Esta es la rotación y traslación de la horquilla. Tenemos

${\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\qquad \qquad {\vec {v}}\,_{01}^{O}=v\,{\vec {k}}_{0}$

Movimiento {20}

Esta es la rotación del disco. Tenemos

${\vec {\omega }}_{20}=\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\qquad \qquad {\vec {v}}\,_{20}^{C}={\vec {0}}$

Observese que, para un observador que se mueve con la horquilla (sólido “0”) el punto $C$ es un punto en reposo permanente pues, en todo instante se tiene que

${\overrightarrow {OC}}=R\!\ {\vec {\imath }}_{0}\mathrm {,} \,\;\,(\mathrm {cte.} )$

Movimiento {21}

Usamos las leyes de composición.

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}+\Omega \,{\vec {k}}_{0}$

Reducimos la velocidad en el punto $C$

${\begin{array}{rl}{\vec {v}}\,_{21}^{C}&={\vec {v}}\,_{20}^{C}+{\vec {v}}\,_{01}^{C}\\&\\&{\vec {v}}\,_{20}^{C}={\vec {0}}\\&\\&{\vec {v}}\,_{01}^{C}={\vec {v}}\,_{01}^{O}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OC}}=v\,{\vec {k}}_{0}+R\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\end{array}}$

Por tanto

${\vec {v}}\,_{21}^{C}=R\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}+v\,{\vec {k}}_{0}$

Velocidad mínima de {21} nula

El movimiento del disco respecto del sistema de referencia fijo será rotación instantánea cuando la velocidad mínima del movimiento {21} sea nula (con un vector rotación instantánea no nulo). Y esto ocurrirá cuando el invariante escalar sea nulo:

${\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {v}}\,_{21}^{C}=0\longrightarrow R\,\Omega \,\omega +v\,\Omega =0\longrightarrow v=-\omega \,R$

EIRMD para el movimiento {21}

Por definición, éste es el lugar geométrico formado por todos los puntos que se mueven solidariamente con el disco “2” y cuya velocidad, medida por el sistema de refencia “1”, es paralela a la rotación instantánea ${\vec {\omega }}_{21}$. Y como sabemos, se trata de una recta paralela al dicho vector rotación y que pasa por un punto $I_{21}$, cuya posición puede determinarse en cada instante a partir de la reducción cinemática:

$\Delta _{21}^{\mathrm {EIRMD} }:{\overrightarrow {O_{1}X}}={\overrightarrow {OI}}_{21}+\lambda \!\ {\vec {\omega }}_{21}\quad \,(\lambda \in \mathrm {I} \!\mathrm {R} )$

La posición del punto $I_{21}$, respecto del punto $C$ utilizado en la reducción cinemática (centro de reducción), viene dada por el segmento orientado...

${\overrightarrow {CI}}_{21}={\dfrac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}\,_{21}^{C}}{|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}}}={\dfrac {\omega \,v-R\,\Omega ^{2}}{\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}\,{\vec {\imath }}_{0}$

La posición de $I_{21}$, respecto del punto $O_{1}$ se obtiene fácilmente:

${\overrightarrow {OI}}_{21}={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CI}}_{21}={\dfrac {\omega \,(v+R\,\omega )}{\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}\,{\vec {\imath }}_{0}$

Es decir, el eje $\Delta _{21}^{\mathrm {EIRMD} }$ está contenido en todo momento en un plano parelelo al $OY_{0}Z_{0}$ y pasa por un punto del eje $OX_{0}$ (el $I_{21})$, cuya posición está determinada por los valores de $v$, $\omega$ y $\Omega$.

EIRMD por el centro del disco

Para que pase por el punto $C$ debe ocurrir

${\overrightarrow {CI}}_{21}={\vec {0}}\;\Longleftrightarrow \;v=R\,\Omega ^{2}/\omega$

EIRMD por el centro del disco y rotación instantánea

Para que el movimiento {21} sea una rotación instantánea el invariante escalar debe ser nulo, esto es, debe cumplirse

$v=-\omega \,R$

Pero en este caso la posición de un punto del EIRMD respecto del punto $C$ viene dada por

${\overrightarrow {CI}}_{21}=-R\,{\vec {\imath }}_{0}$

y el EIRMD no pasaría por $C$. De hecho pasaría por el punto $O$. Por tanto esta situación no puede ocurrir nunca.

Variación instantánea de las magnitudes cinemáticas del {21}

Para poder determinar la aceleración de cualquier punto del disco “2”, debemos conocer la derivada temporal de los elementos que constituyen las reducción cinemática de dicho movimiento; es decir:

${\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}={\vec {\alpha }}_{21}(t)\,\mathrm {;} \,\quad {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{21}^{C}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}={\vec {a}}_{21}^{C}(t)$

De las relaciones del movimiento relativo, sabemos que...

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}$

En esta expresión ${\vec {\alpha }}_{20}$ es la variación instantánea del vector rotación en el movimiento {20}. Pero, como se vio al obtener la reducción cinemática de dicho movimiento, ${\vec {\omega }}_{20}$ es un vector constante en módulo, dirección y sentido para el observador “0”. Y exactamente lo mismo ocurre con el vector rotación ${\vec {\omega }}_{01}$, cuando es observado por el sistema de referencia fijo (sólido “1”), de manera que:

$\left.{\begin{array}{l}\displaystyle {\vec {\alpha }}_{20}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{0}={\vec {0}}\mathrm {,} \;\;\forall \ t\\\\\displaystyle {\vec {\alpha }}_{01}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}={\vec {0}}\mathrm {,} \;\;\forall \ t\end{array}}\right\}\;\Longrightarrow \;\;\;{\vec {\alpha }}_{21}(t)={\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=-\omega \Omega \!\ {\vec {\imath }}_{0}(t)$

La aceleración “absoluta” (en el movimiento {21}) del centro del disco, $C$, viene dada por la expresión general:

$\displaystyle {\vec {a}}_{21}^{C}={\vec {a}}_{20}^{C}+{\vec {a}}_{01}^{C}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{C}$

Como se indicó en la reducción cinemática del movimiento {20}, el centro $C$ del disco es un punto en reposo permanente en dicho movimiento, luego tanto la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{C}$, como la aceleración ${\vec {a}}_{20}^{C}$, son nulas en todo momento; entonces...

$\left.{\begin{array}{l}\displaystyle {\vec {a}}_{20}^{C}={\vec {0}}\\\\\displaystyle 2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{C}={\vec {0}}\end{array}}\right\}\;\Longrightarrow \;\;\;{\vec {a}}_{21}^{C}={\vec {a}}_{01}^{C}={\vec {a}}_{01}^{O}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OC}}+{\vec {\omega }}_{01}\times \left({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OC}}\right)$

Teniendo en cuenta que ${\overrightarrow {OC}}=R{\vec {\imath }}_{0}$ y asumiendo que, en general, el punto $O$ de la horquilla recorre el eje $O_{1}Z_{1}$ con velocidad $v(t)$, función del tiempo, se tendrá:

${\vec {a}}_{21}^{C}(t)={\vec {a}}_{01}^{O}-|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}\!\ {\overrightarrow {OC}}={\dot {v}}(t)\!\ {\vec {k}}_{1}-R\Omega ^{2}\!\ {\vec {\imath }}_{0}(t)$

Como se vio anteriormente, para que el $\Delta _{21}^{\mathrm {EIRMD} }$ pase por el centro del disco, la velocidad de deslizamiento de la horquilla sobre el eje $O_{1}Z_{1}$ debía ser $v=R\Omega ^{2}/\omega$, constante, al serlo los factores $R$, $\Omega$ y $\omega$. Por tanto, en este caso particular se tendrá:

${\vec {a}}_{21}^{C}(t)=-R\Omega ^{2}\!\ {\vec {\imath }}_{0}(t)$