Disco y varilla con dos rotaciones

Enunciado

El sistema de la figura está formado por una varilla $AB$ de longitud $l$ (sólido "0"), cuyo extremo $A$ está fijado en el eje vertical $O_{1}Z_{1}$, a una altura $R$ sobre el plano horizontal fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}$ (sólido "1"). La varilla $AB$ gira alrededor de $O_{1}Z_{1}$ con una velocidad angular constante $\Omega$, permaneciendo siempre perpendicular a dicho eje vertical fijo. El extremo $B$ del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio $R$ (sólido "2"), de modo que la varilla es siempre perpendicular al disco. El disco gira con una velocidad angular constante $\omega$, coincidiendo su eje de giro con la varilla.

1. Caracteriza los movimientos {01}, {20} y {21} (reducciones cinemáticas).
2. Obtén la expresión de la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{C}$ del punto de contacto del disco con el plano fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}$, (punto $C$) en término de los datos del problema. ¿Qué relación debe existir entre las velocidades angulares $\omega$ y $\Omega$ para que el disco ruede sin deslizar sobre el plano?
3. Obtén las expresiones de la aceleración angular del movimiento {21} y de la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{B}$ del centro del disco (punto $B$). Calcula la aceleración del punto de contacto $C$ perteneciente al disco cuando éste rueda sin deslizar sobre el plano $O_{1}X_{1}Y_{1}$.

Solución

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

Es una rotación de eje permanente. El eje de rotación es $O_{1}Z_{1}$. Reduciendo en el punto $O_{1}$ tenemos

${\vec {v}}_{01}^{\,O_{1}}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}}_{1}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}$

Movimiento {20}

El centro del disco pertenece siempre a los dos sólidos "2" y "0". Por tanto es un punto fijo del movimiento. La velocidad angular es $\omega$, dirigida a lo largo de la varilla. Reduciendo en el punto $B$ tenemos

${\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{20}=\omega \,{\vec {\imath }}_{0}$

Movimiento {21}

Expresamos este movimiento como la composición

$\{21\}=\{20\}+\{01\}$

La velocidad angular es

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=\omega \,{\vec {\imath }}_{0}+\Omega \,{\vec {k}}_{0}$

La velocidad en el punto $B$ es

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{20}^{\,B}+{\vec {v}}_{01}^{\,B}$

Para obtener ${\vec {v}}_{01}^{\,B}$ usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}

${\vec {v}}_{01}^{\,B}={\vec {v}}_{01}^{\,O_{1}}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}={\vec {0}}+(\Omega \,{\vec {k}}_{0})\times (l\,{\vec {\imath }}_{0}+R\,{\vec {k}}_{0})=l\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}$

Por tanto la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $B$ es

${\vec {v}}_{21}^{\,B}=l\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{21}=\omega \,{\vec {\imath }}_{0}+\Omega \,{\vec {k}}_{0}$

Velocidad del punto de contacto

Obtenemos ${\vec {v}}_{21}^{\,C}$ usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para relacionarla con ${\vec {v}}_{21}^{\,B}$

${\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {v}}_{21}^{\,B}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BC}}=l\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}+(\omega \,{\vec {\imath }}_{0}+\Omega \,{\vec {k}}_{0})\times (-R\,{\vec {k}}_{0})=(l\,\Omega +R\,\omega )\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Para que no deslice debe ocurrir

${\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {0}}\Longrightarrow l\,\Omega +R\,\omega =0$

Aceleraciones

Obtenemos ${\vec {a}}_{21}^{\,B}$ usando la composición de movimientos {21} = {20} + {01}

${\vec {a}}_{21}^{\,B}={\vec {a}}_{20}^{\,B}+{\vec {a}}_{01}^{\,B}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,B}$

Veamos cada una de los términos.

El primer término es nulo, pues el punto $B$ pertenece a la vez a los sólidos "2" y "0" en todo instante. Por tanto ${\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {0}}$ en todo instante y

${\vec {a}}_{20}^{\,B}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}$

Por la misma razón el tercer término se anula pues ${\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {0}}$.

Nos queda el segundo término. El movimiento {01} es una rotación de eje permanente. Todos los puntos del eje tienen velocidad nula en todo instante, y $\Omega$ es constante, por lo que

${\vec {a}}_{01}^{\,O_{1}}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}$

Usamos ahora la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}

${\begin{array}{lcl}{\vec {a}}_{01}^{\,B}&=&{\vec {a}}_{01}^{\,O_{1}}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}+{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {O_{1}B}})\\&&\\&&{\vec {a}}_{01}^{\,O_{1}}={\vec {0}}\\&&\\&&{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}={\vec {0}}\\&&\\&&{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {O_{1}B}})={\vec {\omega }}_{01}\times \left((\Omega \,{\vec {k}}_{0})\times (l\,{\vec {\imath }}_{0}+R\,{\vec {k}}_{0})\right)=(\Omega \,{\vec {k}}_{0})\times (l\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0})=-l\,\Omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}$

Así pues obtenemos

${\vec {a}}_{21}^{\,B}=-l\,\Omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}$

Para obtener ${\vec {a}}_{21}^{\,C}$ usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}. Necesitaremos ${\vec {\alpha }}_{21}$. A partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}={\vec {0}}+{\vec {0}}+(\Omega \,{\vec {k}}_{0})\times ({\vec {\omega }}\,{\vec {\imath }}_{0})=\omega \,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}$

Hemos usado que

${\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}$

Podemos ahora hallar ${\vec {a}}_{21}^{\,C}$

${\begin{array}{lcl}{\vec {\alpha }}_{21}^{\,C}&=&{\vec {a}}_{21}^{\,B}+{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {BC}}+{\vec {\omega }}_{21}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BC}})\\&&\\&&{\vec {a}}_{21}^{\,B}=-l\,\Omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}\\&&\\&&{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {BC}}=(\omega \,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0})\times (-R\,{\vec {k}}_{0})=-R\,\omega \,\Omega \,{\vec {\imath }}_{0}\\&&\\&&{\vec {\omega }}_{21}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BC}})={\vec {\omega }}_{21}\times \left((\omega \,{\vec {\imath }}_{0}+\Omega \,{\vec {k}}_{0})\times (-R\,{\vec {k}}_{0})\right)=(\omega \,{\vec {\imath }}_{0}+\Omega \,{\vec {k}}_{0})\times (R\,\omega \,{\vec {\jmath }}_{0})=-R\,\omega \,\Omega \,{\vec {\imath }}_{0}+R\,\omega ^{2}\,{\vec {k}}_{0}\end{array}}$

El resultado final es

${\vec {a}}_{21}^{\,C}=-(l\,\Omega ^{2}+2\,R\,\omega \,\Omega )\,{\vec {\imath }}_{0}+R\,\omega ^{2}\,{\vec {k}}_{0}$

La condición de no deslizamiento es $l\,\Omega +R\,\omega =0$. Aplicándola tenemos

${\vec {a}}_{21}^{\,C}=-R\,\omega \,\Omega \,{\vec {\imath }}_{0}+R\,\omega ^{2}\,{\vec {k}}_{0}=-l\,\Omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}+R\,\omega ^{2}\,{\vec {k}}_{0}$