Disco y varilla con dos rotaciones

Enunciado

El sistema de la figura está formado por una varilla Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AB} de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l} (sólido "0"), cuyo extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} está fijado en el eje vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} , a una altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} sobre el plano horizontal fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}$ (sólido "1"). La varilla $AB$ gira alrededor de $O_{1}Z_{1}$ con una velocidad angular constante $\Omega$, permaneciendo siempre perpendicular a dicho eje vertical fijo. El extremo $B$ del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio $R$ (sólido "2"), de modo que la varilla es siempre perpendicular al disco. El disco gira con una velocidad angular constante $\omega$, coincidiendo su eje de giro con la varilla.

1. Caracteriza los movimientos {01}, {20} y {21} (reducciones cinemáticas).
2. Obtén la expresión de la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{C}$ del punto de contacto del disco con el plano fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}$, (punto $C$) en término de los datos del problema. ¿Qué relación debe existir entre las velocidades angulares $\omega$ y $\Omega$ para que el disco ruede sin deslizar sobre el plano?
3. Obtén las expresiones de la aceleración angular del movimiento {21} y de la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{B}$ del centro del disco (punto $B$). Calcula la aceleración del punto de contacto $C$ perteneciente al disco cuando éste rueda sin deslizar sobre el plano $O_{1}X_{1}Y_{1}$.

Solución

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

Es una rotación de eje permanente. El eje de rotación es $O_{1}Z_{1}$. Reduciendo en el punto $O_{1}$ tenemos

${\vec {v}}_{01}^{\,O_{1}}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}}_{1}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}$

Movimiento {20}

El centro del disco pertenece siempre a los dos sólidos "2" y "0". Por tanto es un punto fijo del movimiento. La velocidad angular es $\omega$, dirigida a lo largo de la varilla. Reduciendo en el punto $B$ tenemos

${\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{20}=\omega \,{\vec {\imath }}_{0}$

Movimiento {21}

Expresamos este movimiento como la composición

$\{21\}=\{20\}+\{01\}$

La velocidad angular es

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=\omega \,{\vec {\imath }}_{0}+\Omega \,{\vec {k}}_{0}$

La velocidad en el punto $B$ es

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{20}^{\,B}+{\vec {v}}_{01}^{\,B}$

Para obtener ${\vec {v}}_{01}^{\,B}$ usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}

${\vec {v}}_{01}^{\,B}={\vec {v}}_{01}^{\,O_{1}}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}={\vec {0}}+(\Omega \,{\vec {k}}_{0})\times (l\,{\vec {\imath }}_{0}+R\,{\vec {k}}_{0})=l\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}$

Por tanto la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $B$ es

${\vec {v}}_{21}^{\,B}=l\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{21}=\omega \,{\vec {\imath }}_{0}+\Omega \,{\vec {k}}_{0}$

Velocidad del punto de contacto

Obtenemos ${\vec {v}}_{21}^{\,C}$ usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para relacionarla con ${\vec {v}}_{21}^{\,B}$

${\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {v}}_{21}^{\,B}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BC}}=l\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}+(\omega \,{\vec {\imath }}_{0}+\Omega \,{\vec {k}}_{0})\times (-R\,{\vec {k}}_{0})=(l\,\Omega +R\,\omega )\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Para que no deslice debe ocurrir

${\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {0}}\Longrightarrow l\,\Omega +R\,\omega =0$

Aceleraciones

Obtenemos ${\vec {a}}_{21}^{\,B}$ usando la composición de movimientos {21} = {20} + {01}

${\vec {a}}_{21}^{\,B}={\vec {a}}_{20}^{\,B}+{\vec {a}}_{01}^{\,B}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,B}$

Veamos cada una de los términos.

El primer término es nulo, pues el punto $B$ pertenece a la vez a los sólidos "2" y "0" en todo instante. Por tanto ${\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {0}}$ en todo instante y

${\vec {a}}_{20}^{\,B}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}$

Por la misma razón el tercer término se anula pues Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0} } .

Nos queda el segundo término. El movimiento {01} es una rotación de eje permanente. Todos los puntos del eje tienen velocidad nula en todo instante, y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega } es constante, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,O_1}_{01}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{\alpha}_{01}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0} }

Usamos ahora la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{a}^{\,B}_{01} &=& \vec{a}^{\,O_1}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B})\\ &&\\ && \vec{a}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\\ &&\\ && \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} = \vec{0}\\ &&\\ &&\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}) = \vec{\omega}_{01}\times\left(( \Omega\,\vec{k}_0)\times(l\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0)\right) = (\Omega\,\vec{k}_0) \times (l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0) = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0 \end{array} }

Así pues obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0 }

Para obtener Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,C}_{21} } usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}. Necesitaremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} } . A partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} =\vec{0} + \vec{0} + (\Omega\,\vec{k}_0)\times(\vec{\omega}\,\vec{\imath}_0) = \omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_{0} }

Hemos usado que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0} }

Podemos ahora hallar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,C}_{21} }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\alpha}^{\,C}_{21} &=& \vec{a}^{\,B}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} + \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC})\\ &&\\ && \vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0\\ &&\\ && \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} = (\omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)= -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0\\ &&\\ &&\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC}) = \vec{\omega}_{21}\times\left( (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)\right) = (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times ( R\,\omega\,\vec{\jmath}_0)= -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0+ R\,\omega^2\,\vec{k}_0 \end{array} }

El resultado final es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,C}_{21} = - ( l\,\Omega^2 + 2\,R\,\omega\,\Omega)\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0 }

La condición de no deslizamiento es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l\,\Omega + R\,\omega=0 } . Aplicándola tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,C}_{21} = -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0 = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0 }