Disco y varilla con dos rotaciones

Enunciado

El sistema de la figura está formado por una varilla Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AB} de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l} (sólido "0"), cuyo extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} está fijado en el eje vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} , a una altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} sobre el plano horizontal fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1Y_1} (sólido "1"). La varilla Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AB} gira alrededor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} con una velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega} , permaneciendo siempre perpendicular a dicho eje vertical fijo. El extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} (sólido "2"), de modo que la varilla es siempre perpendicular al disco. El disco gira con una velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} , coincidiendo su eje de giro con la varilla.

1. Caracteriza los movimientos {01}, {20} y {21} (reducciones cinemáticas).
2. Obtén la expresión de la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{C}$ del punto de contacto del disco con el plano fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}$, (punto $C$) en término de los datos del problema. ¿Qué relación debe existir entre las velocidades angulares $\omega$ y $\Omega$ para que el disco ruede sin deslizar sobre el plano?
3. Obtén las expresiones de la aceleración angular del movimiento {21} y de la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{B}$ del centro del disco (punto $B$). Calcula la aceleración del punto de contacto $C$ perteneciente al disco cuando éste rueda sin deslizar sobre el plano $O_{1}X_{1}Y_{1}$.

Solución

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

Es una rotación de eje permanente. El eje de rotación es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1 } . Reduciendo en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1 } tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1 = \Omega\,\vec{k}_0 }

Movimiento {20}

El centro del disco pertenece siempre a los dos sólidos "2" y "0". Por tanto es un punto fijo del movimiento. La velocidad angular es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega } , dirigida a lo largo de la varilla. Reduciendo en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{\imath}_ 0 }

Movimiento {21}

Expresamos este movimiento como la composición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\} = \{20\} + \{01\} }

La velocidad angular es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0 }

La velocidad en el punto $B$ es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{v}^{\,B}_{01} }

Para obtener Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{01} } usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}^{\,O_1}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} = \vec{0} + (\Omega\,\vec{k}_0) \times (l\,\vec{\imath}_0 + R\,\vec{k}_0) = l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 }

Por tanto la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21} = l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 \qquad\qquad \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0 }

Velocidad del punto de contacto

Obtenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,C}_{21} } usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para relacionarla con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21} }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC} =l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 + (\omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0)\times(-R\,\vec{k}_0) = (l\,\Omega+R\,\omega)\,\vec{\jmath}_0 }

Para que no deslice debe ocurrir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0} \Longrightarrow l\,\Omega+R\,\omega = 0 }

Aceleraciones

Obtenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,B}_{21} } usando la composición de movimientos {21} = {20} + {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{20} + \vec{a}^{\,B}_{01} + 2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20} }

Veamos cada una de los términos.

El primer término es nulo, pues el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } pertenece a la vez a los sólidos "2" y "0" en todo instante. Por tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0} } en todo instante y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,B}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,B}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0} }

Por la misma razón el tercer término se anula pues Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0} } .

Nos queda el segundo término. El movimiento {01} es una rotación de eje permanente. Todos los puntos del eje tienen velocidad nula en todo instante, y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega } es constante, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,O_1}_{01}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{\alpha}_{01}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0} }

Usamos ahora la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{a}^{\,B}_{01} &=& \vec{a}^{\,O_1}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B})\\ &&\\ && \vec{a}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\\ &&\\ && \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} = \vec{0}\\ &&\\ &&\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}) = \vec{\omega}_{01}\times\left(( \Omega\,\vec{k}_0)\times(l\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0)\right) = (\Omega\,\vec{k}_0) \times (l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0) = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0 \end{array} }

Así pues obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0 }

Para obtener Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,C}_{21} } usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}. Necesitaremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} } . A partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} =\vec{0} + \vec{0} + (\Omega\,\vec{k}_0)\times(\vec{\omega}\,\vec{\imath}_0) = \omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_{0} }

Hemos usado que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0} }

Podemos ahora hallar ${\vec {a}}_{21}^{\,C}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\alpha}^{\,C}_{21} &=& \vec{a}^{\,B}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} + \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC})\\ &&\\ && \vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0\\ &&\\ && \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} = (\omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)= -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0\\ &&\\ &&\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC}) = \vec{\omega}_{21}\times\left( (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)\right) = (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times ( R\,\omega\,\vec{\jmath}_0)= -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0+ R\,\omega^2\,\vec{k}_0 \end{array} }

El resultado final es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,C}_{21} = - ( l\,\Omega^2 + 2\,R\,\omega\,\Omega)\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0 }

La condición de no deslizamiento es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l\,\Omega + R\,\omega=0 } . Aplicándola tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,C}_{21} = -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0 = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0 }