Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Disco y varilla con dos rotaciones

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El sistema de la figura está formado por una varilla AB de longitud l (sólido "0"), cuyo extremo A está fijado en el eje vertical O1Z1, a una altura R sobre el plano horizontal fijo O1X1Y1 (sólido "1"). La varilla AB gira alrededor de O1Z1 con una velocidad angular constante Ω, permaneciendo siempre perpendicular a dicho eje vertical fijo. El extremo B del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio R (sólido "2"), de modo que la varilla es siempre perpendicular al disco. El disco gira con una velocidad angular constante ω, coincidiendo su eje de giro con la varilla.

  1. Caracteriza los movimientos {01}, {20} y {21} (reducciones cinemáticas).
  2. Obtén la expresión de la velocidad \vec{v}^C_{21} del punto de contacto del disco con el plano fijo O1X1Y1, (punto C) en término de los datos del problema. ¿Qué relación debe existir entre las velocidades angulares ω y Ω para que el disco ruede sin deslizar sobre el plano?
  3. Obtén las expresiones de la aceleración angular del movimiento {21} y de la aceleración \vec{a}^B_{21} del centro del disco (punto B). Calcula la aceleración del punto de contacto C perteneciente al disco cuando éste rueda sin deslizar sobre el plano O1X1Y1.

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas

2.1.1 Movimiento {01}

Es una rotación de eje permanente. El eje de rotación es O1Z1. Reduciendo en el punto O1 tenemos


\vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1 = \Omega\,\vec{k}_0

2.1.2 Movimiento {20}

El centro del disco pertenece siempre a los dos sólidos "2" y "0". Por tanto es un punto fijo del movimiento. La velocidad angular es ω, dirigida a lo largo de la varilla. Reduciendo en el punto B tenemos


\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{\imath}_ 0

2.1.3 Movimiento {21}

Expresamos este movimiento como la composición

{21} = {20} + {01}

La velocidad angular es


\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0

La velocidad en el punto B es


\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{v}^{\,B}_{01}

Para obtener \vec{v}^{\,B}_{01} usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}


\vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}^{\,O_1}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}
= \vec{0} + (\Omega\,\vec{k}_0) \times (l\,\vec{\imath}_0 + R\,\vec{k}_0)
= l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0

Por tanto la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto B es


\vec{v}^{\,B}_{21} = l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 \qquad\qquad \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0

2.2 Velocidad del punto de contacto

Obtenemos \vec{v}^{\,C}_{21} usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para relacionarla con \vec{v}^{\,B}_{21}


\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC}
=l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 + (\omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)
= (l\,\Omega+R\,\omega)\,\vec{\jmath}_0

Para que no deslice debe ocurrir


\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0} \Longrightarrow l\,\Omega+R\,\omega = 0

2.3 Aceleraciones

Obtenemos \vec{a}^{\,B}_{21} usando la composición de movimientos {21} = {20} + {01}


\vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{20} + \vec{a}^{\,B}_{01} + 2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}

Veamos cada una de los términos.


El primer término es nulo, pues el punto B pertenece a la vez a los sólidos "2" y "0" en todo instante. Por tanto \vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0} en todo instante y


\vec{a}^{\,B}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,B}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}

Por la misma razón el tercer término se anula pues \vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0} .

Nos queda el segundo término. El movimiento {01} es una rotación de eje permanente. Todos los puntos del eje tienen velocidad nula en todo instante, y Ω es constante, por lo que


\vec{a}^{\,O_1}_{01}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{\alpha}_{01}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}

Usamos ahora la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}


\begin{array}{lcl}
\vec{a}^{\,B}_{01} &=& \vec{a}^{\,O_1}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} +
\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B})\\
&&\\
&& \vec{a}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\\
&&\\
&& \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} = \vec{0}\\
&&\\
&&\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}) =
\vec{\omega}_{01}\times\left(( \Omega\,\vec{k}_0)\times(l\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0)\right)
= (\Omega\,\vec{k}_0) \times (l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0) = 
-l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0
\end{array}

Así pues obtenemos


\vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0

Para obtener \vec{a}^{\,C}_{21} usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}. Necesitaremos \vec{\alpha}_{21} . A partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos


\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
=\vec{0} + \vec{0} + (\Omega\,\vec{k}_0)\times(\vec{\omega}\,\vec{\imath}_0) =
\omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_{0}

Hemos usado que


\vec{\alpha}_{20}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}

Podemos ahora hallar \vec{a}^{\,C}_{21}


\begin{array}{lcl}
\vec{\alpha}^{\,C}_{21} &=& \vec{a}^{\,B}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} +
\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC})\\
&&\\
&& \vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0\\
&&\\
&& \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} =  (\omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)= -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0\\
&&\\
&&\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC}) =
\vec{\omega}_{21}\times\left( (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)\right)
=  (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times ( R\,\omega\,\vec{\jmath}_0)=
-R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0+ R\,\omega^2\,\vec{k}_0
\end{array}

El resultado final es


\vec{a}^{\,C}_{21} = - ( l\,\Omega^2 + 2\,R\,\omega\,\Omega)\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0

La condición de no deslizamiento es l\,\Omega + R\,\omega=0 . Aplicándola tenemos


\vec{a}^{\,C}_{21} = -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0 = 
-l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 18:36, 7 ene 2015. - Esta página ha sido visitada 3.805 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace