Enunciado

En la figura se muestra un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} (sólido "2"), que gira con velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}(t)=\omega} , constante, alrededor del eje perpendicular a él, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_0} . Dicho eje está rígidamente unido a una plataforma (sólido "0"), que gira también con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{01}(t)=\Omega} , alrededor del eje vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} de un sistema de referencia fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1Y_1Z_1} (sólido "1"). Determina las magnitudes cinemáticas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{21}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{21}} en el instante representado en la figura.

Solución

El problema nos pide determinar el movimiento del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , perteneciente al sólido "2", en el instante en que se encuentra en su punto más alto. El movimiento {21} puede descomponerse en la rotación del sólido "0" respecto al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} y la rotación del sólido "2" respecto al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_0} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\} = \{20\}+ \{01\} }

Analicemos en detalle estos dos movimientos

Movimiento {01}

La reducción de un movimiento consiste en calcular su velocidad angular y la velocidad de uno de los puntos del sólido. Con eso podemos determinar el eje instantáneo de rotación. Para poder determinar la aceleración de cualquier punto necesitamos también la aceleración angular y la aceleración en un punto. Esto es lo que vamos a determinar en este movimiento.

En este caso, el movimiento {01} es un rotación permanente alrededor del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} . El enunciado nos dice que la velocidad angular vale Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}(t)=\Omega} y es constante en el tiempo. Tenemos entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1=\Omega\,\vec{k}_0\qquad\qquad \vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} }

Hemos usado el hecho de que, en este problema, los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} son iguales entre sí e invariantes en el tiempo. Esto nos permite, por un lado, expresar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}} en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_0} ó Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_1} , y por otro lado hacer la derivada temporal suponiendo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_1} no cambia en el tiempo, con lo cual Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}} es nula. Dado que el eje de rotación es invariante en el tiempo, los puntos en él tienen velocidad y aceleración nula. Escogiendo, por ejemplo, el origen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} , podemos caracterizar completamente el movimiento {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\ \vec{\alpha}_{01}=\vec{0}&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{01}^{O_1}=\vec{0} \\ &&\\ \Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv O_1Z_0\equiv O_1Z_1 \end{array} }

Como queremos determinar el movimiento del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , vamos a calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{01}^{B}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{01}^{B}} . Utilizamos las ecuaciones del campo de velocidades y aceleraciones del sólido "0"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}_{01}^{B} = \vec{v}_{01}^{O_1}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}= (\Omega\,\vec{k}_0)\times{R\,\vec{k}_0}=\vec{0}\\ \\ \vec{a}_{01}^{B} = \vec{a}_{01}^{O_1}+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B})=\vec{0} \end{array} }

Este resultado es razonable, pues el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} pertenece al eje de giro del movimiento.

Movimiento {20}

En este caso tenemos una rotación alrededor de un eje perpendicular al sólido "2". Hemos elegido el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_0} coincidiendo con este eje de giro. El enunciado dice que la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}} es constante en el tiempo, por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{k}_0\qquad\qquad \vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} }

En este caso, como el sólido derivador es el "0", y la expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}} en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_0} es válida en cualquier instante de tiempo, podemos hacer la derivada suponiendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_0} constante, con lo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}} resulta ser nula.


Como el eje de rotación es la recta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_0} , el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} es de nuevo un punto fijo de este movimiento. Por tanto, la caracterización del movimiento {20} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{\imath}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{20}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\ \vec{\alpha}_{20}=\vec{0}&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{20}^{O_1}=\vec{0} \\ &&\\ \Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv O_1X_0 \end{array} }

Determinamos también los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{20}^{B}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{20}^{B}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}_{20}^{B} = \vec{v}_{20}^{O_1}+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{O_1B}= (\omega\,\vec{\imath}_0)\times{R\,\vec{k}_0}=-R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\ \vec{a}_{20}^{B} = \vec{a}_{20}^{O_1}+\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{O_1B} + \vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{O_1B})=-R\,\omega^2\,\vec{k}_0 \end{array} }

En este movimiento, el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} realiza un movimiento circular uniforme, con lo cual es razonable que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{20}^{B}} apunte hacia el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} .

Movimiento {21}

Podemos describir este movimiento como combinación de los otros dos {21}={20}+{01}. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0\\ \\ \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01} +\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = (\Omega\,\vec{k}_0)\times(\omega\,\vec{\imath}_0) = \omega\Omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\ \vec{v}_{21}^{\,O_1} = \vec{v}_{20}^{\,O_1}+\vec{v}_{01}^{\,O_1}=\vec{0}\\ \\ \vec{a}_{21}^{\,O_1} = \vec{a}_{20}^{\,O_1}+\vec{a}_{01}^{\,O_1} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,O_1}_{20}=\vec{0} \end{array} }

El eje instantáneo de rotación es paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}} y pasa por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} , pues Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\mathrm{min}}=\vec{v}_{21}^{O_1}} , pues ésta es cero. Así pues, la caracterización del movimiento {21} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{21}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\ \vec{\alpha}_{21}=\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{21}^{O_1}=\vec{0} \\ &&\\ \Delta_{\mathrm{EIR}}\equiv \lambda\, \vec{\omega}_{21} \end{array} }

Es interesante observar que la combinación de dos rotaciones con velocidad angular constante da una rotación con aceleración angular no nula. Esto se debe a que la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_{\mathrm{EIR}}} cambia con el tiempo. El vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}} apunta en la dirección en que se produce este cambio.

Velocidad y aceleración del punto B

Ahora podemos calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^{B}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^{B}} . Si usamos la composición {21}={20}+{01} podemos utilizar las velocidades y aceleraciones calculadas anteriormente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}_{21}^{B} = \vec{v}_{20}^B+\vec{v}_{01}^B = -R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\ \vec{a}_{21}^{B} = \vec{a}_{20}^B+\vec{a}_{01}^B +2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^B=-R\,\omega^2\vec{k}_0+2R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0 \end{array} }

También podemos hacer el cálculo a partir de la reducción del movimiento {21} y usando el campo de velocidades y aceleraciones de este movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}_{21}^{B} = \vec{v}_{21}^{O_1}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B}= -R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\ \vec{a}_{21}^{B} = \vec{a}_{21}^{O_1}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{O_1B} + \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B})=-R\,\omega^2\,\vec{k}_0+2R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0 \end{array} }

En la figura se muestran las magnitudes cinemáticas mas relevantes del problema.

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