Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Disco engarzado en otro disco (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En la figura se muestra un disco de radio R (sólido "2"), que gira con velocidad angular ω20(t) = ω, constante, alrededor del eje perpendicular a él, O1X0. Dicho eje está rígidamente unido a una plataforma (sólido "0"), que gira también con velocidad angular constante ω01(t) = Ω, alrededor del eje vertical O1Z1 de un sistema de referencia fijo O1X1Y1Z1 (sólido "1"). Determina las magnitudes cinemáticas \vec{v}^B_{21} y \vec{a}^B_{21} en el instante representado en la figura.

2 Solución

El problema nos pide determinar el movimiento del punto B, perteneciente al sólido "2", en el instante en que se encuentra en su punto más alto. El movimiento {21} puede descomponerse en la rotación del sólido "0" respecto al eje O1Z1 y la rotación del sólido "2" respecto al eje O1X0:

{21} = {20} + {01}

Analicemos en detalle estos dos movimientos

2.1 Movimiento {01}

La reducción de un movimiento consiste en calcular su velocidad angular y la velocidad de uno de los puntos del sólido. Con eso podemos determinar el eje instantáneo de rotación. Para poder determinar la aceleración de cualquier punto necesitamos también la aceleración angular y la aceleración en un punto. Esto es lo que vamos a determinar en este movimiento.

En este caso, el movimiento {01} es un rotación permanente alrededor del eje O1Z1. El enunciado nos dice que la velocidad angular vale \vec{\omega}_{01}(t)=\Omega y es constante en el tiempo. Tenemos entonces


  \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1=\Omega\,\vec{k}_0\qquad\qquad
  \vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}

Hemos usado el hecho de que, en este problema, los ejes O1Z0 y O1Z1 son iguales entre sí e invariantes en el tiempo. Esto nos permite, por un lado, expresar \vec{\omega}_{01} en función de \vec{k}_0 ó \vec{k}_1, y por otro lado hacer la derivada temporal suponiendo que \vec{k}_1 no cambia en el tiempo, con lo cual \vec{\alpha}_{01} es nula. Dado que el eje de rotación es invariante en el tiempo, los puntos en él tienen velocidad y aceleración nula. Escogiendo, por ejemplo, el origen O1, podemos caracterizar completamente el movimiento {01}


  \begin{array}{lcl}
    \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\
    \vec{\alpha}_{01}=\vec{0}&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{01}^{O_1}=\vec{0}
    \\ &&\\
    \Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv O_1Z_0\equiv O_1Z_1
  \end{array}

Como queremos determinar el movimiento del punto B, vamos a calcular \vec{v}_{01}^{B} y \vec{a}_{01}^{B}. Utilizamos las ecuaciones del campo de velocidades y aceleraciones del sólido "0"


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_{01}^{B} = \vec{v}_{01}^{O_1}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}=
    (\Omega\,\vec{k}_0)\times{R\,\vec{k}_0}=\vec{0}\\ \\
    \vec{a}_{01}^{B} = \vec{a}_{01}^{O_1}+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} +
    \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B})=\vec{0}
  \end{array}

Este resultado es razonable, pues el punto B pertenece al eje de giro del movimiento.

2.2 Movimiento {20}

En este caso tenemos una rotación alrededor de un eje perpendicular al sólido "2". Hemos elegido el eje O1X0 coincidiendo con este eje de giro. El enunciado dice que la velocidad angular ω20 es constante en el tiempo, por tanto


  \vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{k}_0\qquad\qquad
  \vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0}

En este caso, como el sólido derivador es el "0", y la expresión de \vec{\omega}_{20} en función de \vec{\imath}_0 es válida en cualquier instante de tiempo, podemos hacer la derivada suponiendo \vec{\imath}_0 constante, con lo que \vec{\alpha}_{20} resulta ser nula.


Como el eje de rotación es la recta O1X0, el punto O1 es de nuevo un punto fijo de este movimiento. Por tanto, la caracterización del movimiento {20} es


  \begin{array}{lcl}
    \vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{\imath}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{20}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\
    \vec{\alpha}_{20}=\vec{0}&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{20}^{O_1}=\vec{0}
    \\ &&\\
    \Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv O_1X_0
  \end{array}

Determinamos también los vectores \vec{v}_{20}^{B} y \vec{a}_{20}^{B}


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_{20}^{B} = \vec{v}_{20}^{O_1}+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{O_1B}=
    (\omega\,\vec{\imath}_0)\times{R\,\vec{k}_0}=-R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\
    \vec{a}_{20}^{B} = \vec{a}_{20}^{O_1}+\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{O_1B} +
    \vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{O_1B})=-R\,\omega^2\,\vec{k}_0
  \end{array}

En este movimiento, el punto B realiza un movimiento circular uniforme, con lo cual es razonable que \vec{a}_{20}^{B} apunte hacia el punto O1.

2.3 Movimiento {21}

Podemos describir este movimiento como combinación de los otros dos {21}={20}+{01}. Tenemos


  \begin{array}{l}
    \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0\\ \\
    \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01} +\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} =
    (\Omega\,\vec{k}_0)\times(\omega\,\vec{\imath}_0) = \omega\Omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\
    \vec{v}_{21}^{\,O_1} = \vec{v}_{20}^{\,O_1}+\vec{v}_{01}^{\,O_1}=\vec{0}\\
    \\
    \vec{a}_{21}^{\,O_1} = \vec{a}_{20}^{\,O_1}+\vec{a}_{01}^{\,O_1} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,O_1}_{20}=\vec{0}
  \end{array}

El eje instantáneo de rotación es paralelo a \vec{\omega}_{21} y pasa por O1, pues \vec{v}^{\mathrm{min}}=\vec{v}_{21}^{O_1}, pues ésta es cero. Así pues, la caracterización del movimiento {21} es


    \begin{array}{lcl}
    \vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{21}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\
    \vec{\alpha}_{21}=\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{21}^{O_1}=\vec{0}
    \\ &&\\
    \Delta_{\mathrm{EIR}}\equiv \lambda\, \vec{\omega}_{21}
  \end{array}

Es interesante observar que la combinación de dos rotaciones con velocidad angular constante da una rotación con aceleración angular no nula. Esto se debe a que la dirección de ΔEIR cambia con el tiempo. El vector \vec{\alpha}_{21} apunta en la dirección en que se produce este cambio.

2.4 Velocidad y aceleración del punto B

Ahora podemos calcular \vec{v}_{21}^{B} y \vec{a}_{21}^{B}. Si usamos la composición {21}={20}+{01} podemos utilizar las velocidades y aceleraciones calculadas anteriormente


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_{21}^{B} = \vec{v}_{20}^B+\vec{v}_{01}^B = -R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\
    \vec{a}_{21}^{B} = \vec{a}_{20}^B+\vec{a}_{01}^B
    +2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^B=-R\,\omega^2\vec{k}_0+2R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0 
  \end{array}

También podemos hacer el cálculo a partir de la reducción del movimiento {21} y usando el campo de velocidades y aceleraciones de este movimiento


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_{21}^{B} = \vec{v}_{21}^{O_1}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B}=
    -R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\
    \vec{a}_{21}^{B} = \vec{a}_{21}^{O_1}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{O_1B} +
    \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B})=-R\,\omega^2\,\vec{k}_0+2R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0 
  \end{array}

En la figura se muestran las magnitudes cinemáticas mas relevantes del problema.

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 18:33, 7 ene 2015. - Esta página ha sido visitada 3.726 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace