Disco engarzado en otro disco (G.I.A.)

Enunciado

En la figura se muestra un disco de radio $R$ (sólido "2"), que gira con velocidad angular $\omega _{20}(t)=\omega$, constante, alrededor del eje perpendicular a él, $O_{1}X_{0}$. Dicho eje está rígidamente unido a una plataforma (sólido "0"), que gira también con velocidad angular constante $\omega _{01}(t)=\Omega$, alrededor del eje vertical $O_{1}Z_{1}$ de un sistema de referencia fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1}$ (sólido "1"). Determina las magnitudes cinemáticas ${\vec {v}}_{21}^{B}$ y ${\vec {a}}_{21}^{B}$ en el instante representado en la figura.

Solución

El problema nos pide determinar el movimiento del punto $B$, perteneciente al sólido "2", en el instante en que se encuentra en su punto más alto. El movimiento {21} puede descomponerse en la rotación del sólido "0" respecto al eje $O_{1}Z_{1}$ y la rotación del sólido "2" respecto al eje $O_{1}X_{0}$:

$\{21\}=\{20\}+\{01\}$

Analicemos en detalle estos dos movimientos

Movimiento {01}

La reducción de un movimiento consiste en calcular su velocidad angular y la velocidad de uno de los puntos del sólido. Con eso podemos determinar el eje instantáneo de rotación. Para poder determinar la aceleración de cualquier punto necesitamos también la aceleración angular y la aceleración en un punto. Esto es lo que vamos a determinar en este movimiento.

En este caso, el movimiento {01} es un rotación permanente alrededor del eje $O_{1}Z_{1}$. El enunciado nos dice que la velocidad angular vale ${\vec {\omega }}_{01}(t)=\Omega$ y es constante en el tiempo. Tenemos entonces

${\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}}_{1}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\qquad \qquad {\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}$

Hemos usado el hecho de que, en este problema, los ejes $O_{1}Z_{0}$ y $O_{1}Z_{1}$ son iguales entre sí e invariantes en el tiempo. Esto nos permite, por un lado, expresar ${\vec {\omega }}_{01}$ en función de ${\vec {k}}_{0}$ ó ${\vec {k}}_{1}$, y por otro lado hacer la derivada temporal suponiendo que ${\vec {k}}_{1}$ no cambia en el tiempo, con lo cual ${\vec {\alpha }}_{01}$ es nula. Dado que el eje de rotación es invariante en el tiempo, los puntos en él tienen velocidad y aceleración nula. Escogiendo, por ejemplo, el origen $O_{1}$, podemos caracterizar completamente el movimiento {01}

${\begin{array}{lcl}{\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}&\qquad \qquad \qquad &{\vec {v}}_{01}^{O_{1}}={\vec {0}}\\&&\\{\vec {\alpha }}_{01}={\vec {0}}&\qquad \qquad \qquad &{\vec {a}}_{01}^{O_{1}}={\vec {0}}\\&&\\\Delta _{\mathrm {EPR} }\equiv O_{1}Z_{0}\equiv O_{1}Z_{1}\end{array}}$

Como queremos determinar el movimiento del punto $B$, vamos a calcular ${\vec {v}}_{01}^{B}$ y ${\vec {a}}_{01}^{B}$. Utilizamos las ecuaciones del campo de velocidades y aceleraciones del sólido "0"

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{01}^{B}={\vec {v}}_{01}^{O_{1}}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}=(\Omega \,{\vec {k}}_{0})\times {R\,{\vec {k}}_{0}}={\vec {0}}\\\\{\vec {a}}_{01}^{B}={\vec {a}}_{01}^{O_{1}}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}+{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {O_{1}B}})={\vec {0}}\end{array}}$

Este resultado es razonable, pues el punto $B$ pertenece al eje de giro del movimiento.

Movimiento {20}

En este caso tenemos una rotación alrededor de un eje perpendicular al sólido "2". Hemos elegido el eje $O_{1}X_{0}$ coincidiendo con este eje de giro. El enunciado dice que la velocidad angular $\omega _{20}$ es constante en el tiempo, por tanto

${\vec {\omega }}_{20}=\omega \,{\vec {k}}_{0}\qquad \qquad {\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}$

En este caso, como el sólido derivador es el "0", y la expresión de ${\vec {\omega }}_{20}$ en función de ${\vec {\imath }}_{0}$ es válida en cualquier instante de tiempo, podemos hacer la derivada suponiendo ${\vec {\imath }}_{0}$ constante, con lo que ${\vec {\alpha }}_{20}$ resulta ser nula.

Como el eje de rotación es la recta $O_{1}X_{0}$, el punto $O_{1}$ es de nuevo un punto fijo de este movimiento. Por tanto, la caracterización del movimiento {20} es

${\begin{array}{lcl}{\vec {\omega }}_{20}=\omega \,{\vec {\imath }}_{0}&\qquad \qquad \qquad &{\vec {v}}_{20}^{O_{1}}={\vec {0}}\\&&\\{\vec {\alpha }}_{20}={\vec {0}}&\qquad \qquad \qquad &{\vec {a}}_{20}^{O_{1}}={\vec {0}}\\&&\\\Delta _{\mathrm {EPR} }\equiv O_{1}X_{0}\end{array}}$

Determinamos también los vectores ${\vec {v}}_{20}^{B}$ y ${\vec {a}}_{20}^{B}$

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{20}^{B}={\vec {v}}_{20}^{O_{1}}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}=(\omega \,{\vec {\imath }}_{0})\times {R\,{\vec {k}}_{0}}=-R\,\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\\\\{\vec {a}}_{20}^{B}={\vec {a}}_{20}^{O_{1}}+{\vec {\alpha }}_{20}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}+{\vec {\omega }}_{20}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {O_{1}B}})=-R\,\omega ^{2}\,{\vec {k}}_{0}\end{array}}$

En este movimiento, el punto $B$ realiza un movimiento circular uniforme, con lo cual es razonable que ${\vec {a}}_{20}^{B}$ apunte hacia el punto $O_{1}$.

Movimiento {21}

Podemos describir este movimiento como combinación de los otros dos {21}={20}+{01}. Tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=\omega \,{\vec {\imath }}_{0}+\Omega \,{\vec {k}}_{0}\\\\{\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=(\Omega \,{\vec {k}}_{0})\times (\omega \,{\vec {\imath }}_{0})=\omega \Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,O_{1}}={\vec {v}}_{20}^{\,O_{1}}+{\vec {v}}_{01}^{\,O_{1}}={\vec {0}}\\\\{\vec {a}}_{21}^{\,O_{1}}={\vec {a}}_{20}^{\,O_{1}}+{\vec {a}}_{01}^{\,O_{1}}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,O_{1}}={\vec {0}}\end{array}}$

El eje instantáneo de rotación es paralelo a ${\vec {\omega }}_{21}$ y pasa por $O_{1}$, pues ${\vec {v}}^{\mathrm {min} }={\vec {v}}_{21}^{O_{1}}$, pues ésta es cero. Así pues, la caracterización del movimiento {21} es

${\begin{array}{lcl}{\vec {\omega }}_{21}=\omega \,{\vec {\imath }}_{0}+\Omega \,{\vec {k}}_{0}&\qquad \qquad \qquad &{\vec {v}}_{21}^{O_{1}}={\vec {0}}\\&&\\{\vec {\alpha }}_{21}=\omega \Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}&\qquad \qquad \qquad &{\vec {a}}_{21}^{O_{1}}={\vec {0}}\\&&\\\Delta _{\mathrm {EIR} }\equiv \lambda \,{\vec {\omega }}_{21}\end{array}}$

Es interesante observar que la combinación de dos rotaciones con velocidad angular constante da una rotación con aceleración angular no nula. Esto se debe a que la dirección de $\Delta _{\mathrm {EIR} }$ cambia con el tiempo. El vector ${\vec {\alpha }}_{21}$ apunta en la dirección en que se produce este cambio.

Velocidad y aceleración del punto B

Ahora podemos calcular ${\vec {v}}_{21}^{B}$ y ${\vec {a}}_{21}^{B}$. Si usamos la composición {21}={20}+{01} podemos utilizar las velocidades y aceleraciones calculadas anteriormente

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {v}}_{20}^{B}+{\vec {v}}_{01}^{B}=-R\,\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\\\\{\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {a}}_{20}^{B}+{\vec {a}}_{01}^{B}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{B}=-R\,\omega ^{2}{\vec {k}}_{0}+2R\,\omega \,\Omega \,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}$

También podemos hacer el cálculo a partir de la reducción del movimiento {21} y usando el campo de velocidades y aceleraciones de este movimiento

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {v}}_{21}^{O_{1}}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}=-R\,\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\\\\{\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {a}}_{21}^{O_{1}}+{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}+{\vec {\omega }}_{21}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {O_{1}B}})=-R\,\omega ^{2}\,{\vec {k}}_{0}+2R\,\omega \,\Omega \,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}$

En la figura se muestran las magnitudes cinemáticas mas relevantes del problema.