Enunciado

Una plataforma circular gira alrededor de un eje perpendicular a ella que pasa por su centro con velocidad angular uniforme Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} . Un coche se mueve radialmente desde el centro de la plataforma hacia fuera con velocidad uniforme Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_c} . Encuentra la expresión de la velocidad del coche visto desde la plataforma y desde un observador en reposo absoluto. Describe las trayectorias que describe el coche para cada uno de estos observadores.

Ayuda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ccc} \displaystyle\int t\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\mathrm{d} t = -\dfrac{t}{\omega}\cos(\omega t) + \dfrac{1}{\omega^2}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)& \qquad &\displaystyle\int t\,\cos(\omega t)\mathrm{d} t = \dfrac{t}{\omega}\,\mathrm{sen}\,(\omega t) + \dfrac{1}{\omega^2}\cos(\omega t) \end{array} }

Solución

Este problema es similar al anterior. La diferencia es que uno de los sólidos, concretamente la plataforma, está rotando respecto al suelo. Llamamos sólido "1" al suelo. El sólido "0" será la plataforma, mientras que el coche será el sólido "2". Consideramos que el coche es un punto material que identificamos con la letra .

Los datos que nos da el problema son la velocidad del coche respecto de la plataforma (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{20}} ) y el vector rotación de ésta respecto del suelo (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}} ). El sistema de ejes del triedro "0" gira solidariamente con la plataforma, de forma que el ángulo es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\omega\,t} , pues la velocidad angular es constante en el tiempo. Utilizando la notación del movimiento relativo y los ejes indicados en la figura tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{k}_0 = \omega\,\vec{k}_1 \\ \\ \vec{v}^C_{20} = v\,\vec{\imath}_0 \end{array} \right. }

\picskip{0} Vamos a analizar los movimientos elementales del problema.

Movimiento {01}

Este es el movimiento de la plataforma respecto del suelo. Es una rotación permanente con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\omega\,\vec{k}_0=\omega\,\vec{k}_1} . Hemos de identificar un punto del sólido "0" del cuya velocidad respecto al triedro "1" sea fácil de determinar. Lo más sencillo es escoger un punto del eje de rotación. Aquí, el eje permanente de rotación del movimiento {01} es el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_0\equiv O_1Z_1} . Entonces el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1\equiv O} pertenece al eje. La reducción en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{01} = \vec{0} \qquad \qquad \vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{k}_0 }

A partir de esta reducción podemos determinar la velocidad de cualquier punto del sólido "0" respecto del "1" utilizando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P_{01} = \vec{v}^O_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP} =\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP} }

Movimiento {20}

Este es el movimiento del coche respecto a la plataforma. Es una traslación, por lo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\vec{0}} . Al ser una traslación la velocidad es la misma en todos los puntos del sólido. La reducción en cualquier punto es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{20} = v\,\vec{\imath}_0 \qquad\qquad \vec{\omega}_{20}=\vec{0} }

Movimiento {21}

Este es el movimiento del coche respecto al suelo. Lo describimos como composición de los dos movimientos anteriores.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\} = \{20\} + \{01\} }

La ley de composición de velocidades angulares es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} \Longrightarrow \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}_0 }

Aplicando la ley de composición de velocidades resulta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{21} = \vec{v}^C_{20} + \vec{v}^C_{01} }

Como {20} es una traslación, tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{20} = \vec{v}_{20} = v\,\vec{\imath}_0 }

Usando la ecuación del campo de velocidades de {01} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{01} = \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC} }

Como vemos en la figura, el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC} = d(t) \,\vec{\imath}_0 }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d(t)} es la distancia recorrida por el coche sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} . Como el módulo de la velocidad es constante tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d(t) = v\,t} . Nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{01} = (\omega\,\vec{k}_0)\times(v\,t\,\vec{\imath}_0) = \omega\,v\,t\,\vec{\jmath}_0 }

Así pues, la velocidad buscada es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{21} = v\,\vec{\imath}_0 +\omega\, v\,t\,\vec{\jmath}_0 }

Observamos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}=0} . Es decir, el movimiento {21} es una rotación pura, pues el vector rotación es no nulo y perpendicular a la velocidad en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} (y por tanto a la velocidad en cualquier punto del sólido "2"). Podemos preguntarnos por al posición del EIR de este movimiento. Para determinar un punto del eje vamos a partir de la velocidad en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , pues es más fácil de visualizar. Aplicando la composición de movimientos tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{21} = \vec{v}^O_{20} + \vec{v}^O_{01} = v\,\vec{\imath}_0 + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OO} = v\,\vec{\imath}_0 }

Es interesante recalcar que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} del sólido "2" se mueve respecto al "1". Determinamos la posición respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} de un punto del EIR

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI^*}_{21} = \dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^O_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2} = \dfrac{v}{\omega}\,\vec{\jmath}_0 }

La ecuación vectorial del eje es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta^{21}_{EIR} : \overrightarrow{OI}_{21} = \overrightarrow{OI^*}_{21} + \lambda\,\vec{\omega}_{21} = \dfrac{v}{\omega}\,\vec{\jmath}_0 + \mu\,\vec{k}_0 }

La figura muestra la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{21}} como suma de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{20}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{01}} , así como la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{21}} y la posición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta^{21}_{EIR}} . Como en cada instante es una rotación, las velocidad en cada punto debe ser perpendicular a la línea que une el punto con el EIR, como indica la línea de puntos que une el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} con el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I^*_{21}} de la recta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta^{21}_{EIR}} .

Trayectorias del coche para cada observador

Para encontrar la ecuación de la trayectoria vista por un observador en el suelo (sólido "1" ) y en la plataforma (sólido "0") hay que encontrar el vector de posición del coche en cada uno de esos sistemas.

Trayectoria desde la plataforma

El vector de posición se obtiene integrando la velocidad vista desde el sistema "0". Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{r}^C_{20}(t)& = \int\limits_0^t \vec{v}^C_{20}\,\mathrm{d} t = \int\limits_0^t v\,\vec{\imath}_0\,\mathrm{d} t= v\,\vec{\imath}_0\int\limits_0^t\mathrm{d} t=\\ &=v\,t\,\vec{\imath}_0 \end{array} }

Hemos expresado la velocidad en la base del sólido "0", el sólido observador en este caso. El vector de la base Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_0} puede salir de la integral porque desde el punto de vista del triedro "0" es constante en el tiempo. Hemos supuesto que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} el coche estaba en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} (en el centro de la plataforma). La ecuación paramétrica de la trayectoria es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^C_{20}(t) = \left\{ \begin{array}{l} x^C_{20}(t) = v\,t \\ \\ y^C_{20}(t) = 0 \\ \\ z^C_{20}(t) = 0 \end{array} \right. }

La trayectoria es una recta que coincide con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} .

Trayectoria desde el suelo

El vector de posición se obtiene integrando la velocidad vista desde el sistema "1". Para ello hay que expresar la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{21}} en términos de la base del triedro "1". A partir de la primera figura vemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \vec{\imath}_0 = \cos(\omega\,t)\,\vec{\imath}_1 + \,\mathrm{sen}\,(\omega \,t)\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{\jmath}_0 = -\,\mathrm{sen}\,(\omega\,t)\,\vec{\imath}_1 + \cos(\omega \,t)\,\vec{\jmath}_0 \end{array} \right. }

Es decir, la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{21}} puede escribirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{21} = [v\,\cos(\omega\,t)-\omega\,v\,t\,\,\mathrm{sen}\,(\omega\,t)]\,\vec{\imath}_1 + [v\,\,\mathrm{sen}\,(\omega\,t)+\omega\,v\,t\,\cos(\omega\,t)]\,\vec{\jmath}_1 }

El vector de posición respecto al triedro "1" es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^C_{21}(t) = \int\limits_0^t \vec{v}^C_{21}\,\mathrm{d} t = v\,t\,\cos(\omega\,t)\,\vec{\imath}_1 + v\,t\,\,\mathrm{sen}\,(\omega\,t)\,\vec{\jmath}_1 }

Hemos utilizado las integrales dadas en el enunciado. Desde el punto de vista del triedro "1" los vectores de la base no cambian en el tiempo y pueden salir de la integral. También hemos supuesto que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} el coche estaba en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} . La ecuación paramétrica de la trayectoria es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^C_{21}(t) = \left\{ \begin{array}{l} x^C_{21}(t) = v\,t\cos(\omega\,t) \\ \\ y^C_{21}(t) = v\,t\,\,\mathrm{sen}\,(\omega\,t) \\ \\ z^C_{21}(t) = 0 \end{array} \right. }

Esta es la ecuación de una espiral, que se muestra en la figura.

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