Giro de un triedro (G.I.A.)

Enunciado

Los triedros Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1Y_1Z_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Y_0Z_0} están definidos de modo que sus orígenes y los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} coinciden. El triedro "1" está en reposo y el triedro "0" gira respecto al "1" con velocidad angular uniforme Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{k}_1 =\omega\,\vec{k}_0} , de modo que el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} indicado en la figura es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta = \omega\, t} .

1. Calcula las derivadas de los vectores de la base del triedro "0" vistos desde el triedro "1".
2. Dado el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}(t) = a\,\vec{\imath}_0} calcula

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\qquad \qquad \left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}$

1. Expresa el resultado en los vectores de la base móvil (triedro "0") y la base fija (triedro "1").
2. Haz el mismo cálculo para el vector ${\vec {B}}(t)=b\,t\,{\vec {\imath }}_{0}$

Solución

Derivada temporal de los vectores de la base móvil

El sólido "0" rota respecto al sólido "1" con una velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}=\omega \,{\vec {k}}_{0}=\omega \,{\vec {k}}_{1}$, con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} constante. Hemos usado el hecho de que los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} , coinciden en todo instante, por lo que se cumple Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_0=\vec{k}_1} . Los vectores de la base móvil son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_0} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_0} , indicados en la figura. Estos vectores son solidarios con el triedro "0". Por tanto, al girar éste se mueven respecto al triedro "1". La derivada temporal respecto del sistema "1" se calcula usando las fórmulas de Poisson. Para un vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} solidario con el sólido "i", que rota respecto a un sólido "j" con velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{ij}} , su derivada respecto al tiempo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{a}}{\mathrm{d}t}\right|_j = \vec{\omega}_{ij}\times\vec{a} }

Aplicamos esta fórmula a los vectores de la base del triedro "0"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\imath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{\omega}_{01}\times\vec{\imath}_0 = (\omega\,\vec{k}_0)\times\vec{\imath}_0 = \omega\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\jmath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{\omega}_{01}\times\vec{\jmath}_0 = (\omega\,\vec{k}_0)\times\vec{\jmath}_0 = -\omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{k}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{\omega}_{01}\times\vec{k}_0 = (\omega\,\vec{k}_0)\times\vec{k}_0 = \vec{0} \end{array} \right. }

La derivada indica en que dirección y sentido gira la punta de cada uno de los vectores.

Derivada del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}}

Calculamos primero la derivada del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}(t)} vista desde el triedro móvil. En este triedro los vectores de la base son constantes, pues se mueven solidariamente con él. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \left.\dfrac{\mathrm{d}(a\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0= \dfrac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t}\,\vec{\imath}_0 + a\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\imath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} }

La derivada total es cero pues Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} es una constante y el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_0} no cambia visto desde el sólido "0". El resultado es razonable, pues el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}} gira con el triedro "0" y por tanto la derivada respecto de él es nula.

Calculamos ahora la derivada respecto al triedro "1". Ahora hay que tener en cuenta la rotación del triedro "0" respecto al "1". Usando la fórmula general de Poisson tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_0 + \vec{\omega}_{01}\times\vec{A} = \vec{0} + (\omega\,\vec{k}_0)\times(a\,\vec{\imath}_0) = a\,\omega\,\vec{\jmath}_0 }

Hemos obtenido la derivada expresada en la base del triedro "0". Para expresarla en la base fija hemos de encontrar las expresiones de los vectores de la base "0" en la base "1". Si nos fijamos en la figura del enunciado, vemos que se cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \vec{\imath}_0 = \cos\theta(t)\,\vec{\imath}_1 + \,\mathrm{sen}\,\theta(t)\,\vec{\jmath}_1 \\ \\ \vec{\jmath}_0 = -\,\mathrm{sen}\,\theta(t)\,\vec{\imath}_1 + \cos\theta(t)\,\vec{\jmath}_1 \\ \\ \vec{k}_0 = \vec{k}_1 \end{array} \right. }

Como el enunciado nos dice que la rotación tiene velocidad angular uniforme, se cumple Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t) = \omega\,t} . Con esto, la derivada del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}(t)} expresada en la base del triedro fijo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = -a\,\omega\,\,\mathrm{sen}\,(\omega\,t)\,\vec{\imath}_1 + a\,\omega\,\cos(\omega\,t)\vec{\jmath}_1 }

Podíamos haber calculado esta derivada de otro modo expresando desde el principio el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}(t)} en la base fija. Usando la relación entre los vectores de la base del triedro "0" y el triedro "1" tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}(t) = a\,\cos(\omega\,t)\,\vec{\imath}_1 + a\,\,\mathrm{sen}\,(\omega\,t)\,\vec{\jmath}_1 }

Al hacer la derivada desde el triedro "1", ahora los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_1} son constantes. Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = -a\,\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega\,t)\,\vec{\imath}_1 + a\,\omega\,\cos(\omega\,t)\,\vec{\jmath}_1 = a\,\omega\,\vec{\jmath}_0 }

Como es lógico, obtenemos el mismo resultado que antes.

Derivada del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}}

La resolución de este apartado es similar a la anterior. La única diferencia es que ahora la componente del vector también depende del tiempo, por lo que su derivada no es nula. Visto desde el triedro "0" tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{B}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \dfrac{\mathrm{d}(b\,t)}{\mathrm{d}t}\,\vec{\imath}_0 + (b\,t)\,\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\imath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_0 = b\,\vec{\imath}_0 }

Para el sólido "0", el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}} sólo cambia por la variación de su longitud.

Visto desde el triedro "1" la derivada es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{B}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{B}}{\mathrm{d}t}\right|_0 + \vec{\omega}_{01}\times\vec{B} = b\,\vec{\imath}_0 + (\omega\,\vec{k}_0)\times(bt\,\vec{\imath}_0) = b\,\vec{\imath}_0 + b\omega t\,\vec{\jmath}_0 }

Ahora hay dos términos de variación, uno asociado al cambio en la longitud del vector (el primer sumando) y otro asociado a la rotación del triedro "0" (el segundo sumando)