Los triedros y están definidos de modo que sus orígenes y los ejes coinciden. El triedro "1" está en reposo y el triedro "0" gira respecto al "1" con velocidad angular uniforme , de modo que el ángulo indicado en la figura es .
Calcula las derivadas de los vectores de la base del triedro "0" vistos desde el triedro "1".
Dado el vector calcula
Expresa el resultado en los vectores de la base móvil (triedro "0") y la base fija (triedro "1").
Haz el mismo cálculo para el vector
Solución
Derivada temporal de los vectores de la base móvil
El sólido "0" rota respecto al sólido "1" con una velocidad angular
, con
constante. Hemos usado el hecho de que los ejes y , coinciden en todo
instante, por lo que se cumple . Los vectores de la base móvil son , y ,
indicados en la figura. Estos vectores son solidarios con el triedro "0". Por tanto, al
girar éste se mueven respecto al triedro "1". La derivada temporal respecto del sistema
"1" se calcula usando las fórmulas de Poisson. Para un vector solidario con el sólido
"i", que rota respecto a un sólido "j" con velocidad angular , su derivada
respecto al tiempo es
Aplicamos esta fórmula a los vectores de la base del triedro "0"
La derivada indica en que dirección y sentido gira la punta de cada uno de los vectores.
Derivada del vector
Calculamos primero la derivada del vector vista desde el triedro móvil.
En este triedro los vectores de la base son constantes, pues se mueven solidariamente con
él. Tenemos
La derivada total es cero pues es una constante y el vector no cambia visto
desde el sólido "0". El resultado es razonable, pues el vector gira con el
triedro "0" y por tanto la derivada respecto de él es nula.
Calculamos ahora la derivada respecto al triedro "1". Ahora hay que tener en cuenta la
rotación del triedro "0" respecto al "1". Usando la fórmula general de Poisson tenemos
Hemos obtenido la derivada expresada en la base del triedro "0". Para expresarla en
la base fija hemos de encontrar las expresiones de los vectores de la base "0" en la
base "1". Si nos fijamos en la figura del enunciado, vemos que se cumple
Como el enunciado nos dice que la rotación tiene velocidad angular uniforme, se cumple
. Con esto, la derivada del vector expresada en la
base del triedro fijo es
Podíamos haber calculado esta derivada de otro modo expresando desde el principio el
vector en la base fija. Usando la relación entre los vectores de la base
del triedro "0" y el triedro "1" tenemos
Al hacer la derivada desde el triedro "1", ahora los vectores y son
constantes. Entonces
Como es lógico, obtenemos el mismo resultado que antes.
Derivada del vector
La resolución de este apartado es similar a la anterior. La única diferencia es que ahora
la componente del vector también depende del tiempo, por lo que su derivada no es nula.
Visto desde el triedro "0" tenemos
Para el sólido "0", el vector sólo cambia por la variación de su longitud.
Visto desde el triedro "1" la derivada es
Ahora hay dos términos de variación, uno asociado al cambio en la longitud del vector (el
primer sumando) y otro asociado a la rotación del triedro "0" (el segundo sumando)