Espiral logarítmica

Enunciado

Una partícula recorre la espiral logarítmica de ecuación

${\vec {r}}=b(\cos(\theta ){\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }})\mathrm {e} ^{-k\theta }$

donde $b$ y $k$ son constantes. El movimiento es uniforme a lo largo de la curva, con celeridad constante $v_{0}$. En el instante inicial la partícula se encuentra en $\theta =0$

1. Determine la ley horaria $\theta =\theta (t)$.
2. Calcule el tiempo que tarda en llegar a ${\vec {r}}={\vec {0}}$. ¿Cuántas vueltas da para ello?
3. Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas en cada punto de la trayectoria.
4. Determine la posición de los centros de curvatura de este movimiento.

Ley horaria

Para hallar la ley horaria $\theta =\theta (t)$ aplicamos que el movimiento es uniforme y por tanto

$\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\right|=|{\vec {v}}|=v_{0}$

Sin embargo, lo que se nos da es la trayectoria como función de la coordenada $\theta$ y la velocidad no es la derivada de la posición respecto a $\theta$, sino respecto al tiempo. Para relacionar las dos cosas aplicamos la regla de la cadena

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}\,{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}{\dot {\theta }}$

Aquí ${\dot {\theta }}=\mathrm {d} \theta /\mathrm {d} t$ es una función que debemos determinar.

Tomando módulos

$v_{0}=\left|{\vec {v}}\right|=\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}\right|{\dot {\theta }}$

Derivando en la ecuación de la trayectoria

$\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}=b(-\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\imath }}+\cos \theta {\vec {\jmath }})\mathrm {e} ^{-k\theta }-bk(\cos \theta {\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\jmath }})\mathrm {e} ^{-k\theta }$

Podemos simplificar esta expresión definiendo dos vectores unitarios

${\vec {u}}_{1}(\theta )=\cos \theta {\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\jmath }}$    ${\vec {u}}_{2}(\theta )=-\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\imath }}+\cos \theta {\vec {\jmath }}$

Estos vectores verifican que son unitarios y ortogonales

${\vec {u}}_{1}\cdot {\vec {u}}_{1}=1$    ${\vec {u}}_{2}\cdot {\vec {u}}_{2}=1$    ${\vec {u}}_{1}\cdot {\vec {u}}_{2}=0$

y tienen por derivadas

${\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{1}}{\mathrm {d} \theta }}={\vec {u}}_{2}$    ${\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{2}}{\mathrm {d} \theta }}=-{\vec {u}}_{1}$

El vector ${\vec {u}}_{1}$ es el unitario en la dirección del vector de posición instantáneo de la partícula, y ${\vec {u}}_{2}$ el ortogonal a él. Estos dos vectores van rotando a medida que la partícula se mueve.

Con ayuda de estos vectores, la posición se expresa

${\vec {r}}(\theta )=b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }{\vec {u}}_{1}(\theta )$

y la derivada respecto al ángulo $\theta$

${\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}=-kb\,\mathrm {e} ^{-k\theta }{\vec {u}}_{1}+b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }{\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{1}}{\mathrm {d} \theta }}=b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }\left({\vec {u}}_{2}-k{\vec {u}}_{1}\right)$

que es la expresión que ya teníamos, pero más concisa.

Imponiendo ahora que la celeridad es $v_{0}\,$ queda

$v_{0}=b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }\left|{\vec {u}}_{2}-k{\vec {u}}_{1}\right|{\dot {\theta }}=b{\sqrt {1+k^{2}}}\,\mathrm {e} ^{-k\theta }{\dot {\theta }}$

Para integrar esta ecuación separamos los diferenciales

${\frac {v_{0}}{b{\sqrt {1+k^{2}}}}}\,\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{-k\theta }\,\mathrm {d} \theta$

e integramos, teniendo en cuenta que para $t=0$, $\theta =0$

${\frac {v_{0}}{b{\sqrt {1+k^{2}}}}}\int _{0}^{t}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\theta }\mathrm {e} ^{-k\theta }\,\mathrm {d} \theta$

lo que nos da

${\frac {v_{0}t}{b{\sqrt {1+k^{2}}}}}=\left.\left(-{\frac {\mathrm {e} ^{-k\theta }}{k}}\right)\right|_{0}^{\theta }={\frac {1-\mathrm {e} ^{-k\theta }}{k}}$

Despejando de aquí

$\theta =-{\frac {1}{k}}\ln \left(1-{\frac {v_{0}k}{b{\sqrt {1+k^{2}}}}}t\right)$

Tiempo en llegar al origen

El tiempo que tarda la partícula en llegar al origen lo obtenemos exigiendo que ${\vec {r}}={\vec {0}}$. La posición para cada valor de $\theta$ es igual a

${\vec {r}}=b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }{\vec {u}}_{1}=\left(b-{\frac {v_{0}kt}{\sqrt {1+k^{2}}}}\right){\vec {u}}_{1}$

Este vector se anulará en

$t={\frac {b{\sqrt {1+k^{2}}}}{v_{0}k}}$

Este es el tiempo en llegar al centro.

Nótese que este valor de $t$ corresponde a un valor de $\theta \to \infty$. Puesto que $\theta$ representa el ángulo que el vector de posición forma con el eje X y que una circunferencia completa significa aumentar $\theta$ en $2\pi$, vemos que la partícula da infinitas vueltas antes de llegar al origen, aunque para ello requiere un tiempo finito. Igualmente, aunque dé infinitas vueltas, la distancia recorrida por la partícula es finita e igual a

$\Delta s=v_{0}t={\frac {b{\sqrt {1+k^{2}}}}{k}}$

Esto es posible porque las sucesivas vueltas son cada vez más pequeñas.

Variación de la distancia al origen

Otra posibilidad para hallar el tiempo en llegar al origen es considerar la variación en el tiempo de la distancia al centro

$r=|{\vec {r}}|=b\mathrm {e} ^{-k\theta }$

Derivando aquí respecto al tiempo

${\dot {r}}={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \theta }}\,{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=-kb\mathrm {e} ^{-k\theta }{\dot {\theta }}=-{\frac {kv_{0}}{\sqrt {1+k^{2}}}}$

Obsérvese que la derivada del módulo de la posición no coincide con el módulo de la velocidad.

Vemos que la distancia al origen disminuye a ritmo constante (proporcionalmente a, pero no igual a, la celeridad). Inicialmente vale $b$, así que el tiempo en llegar al centro es

$t_{f}={\frac {b}{|{\dot {r}}|}}={\frac {b{\sqrt {1+k^{2}}}}{kv_{0}}}$

Aceleración

Forma vectorial

Para el cálculo de la aceleración tenemos un problema similar al de la velocidad. La cuestión es que la aceleracion no es la derivada de la velocidad respecto a $\theta$, sino respecto al tiempo, con lo que hay que tener mucho cuidado con qué se deriva y respecto a qué.

Partimos de las expresiones que ya conocemos para la velocidad

${\vec {v}}=b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }({\vec {v}}_{2}-k{\vec {u}}_{1}){\dot {\theta }}$

Conocemos también la ley horaria

$b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }{\sqrt {1+k^{2}}}{\dot {\theta }}=v_{0}$ ⇒ $\theta =-{\frac {1}{k}}\ln \left({\frac {v_{0}kt}{b{\sqrt {1+k^{2}}}}}\right)$

Una posibilidad sería entonces sustituir $\theta (t)$ en la expresión de la velocidad y derivar lo que salga respecto al tiempo. Sin embargo debido a que en esta fórmula aparecen senos y cosenos de logaritmos, la posibilidad de equivocarse al derivar es muy alta.

La solución consiste en aplicar de nuevo la regla de la cadena. Vamos a considerar la velocidad como función del ángulo $\theta$ y calcular la aceleración como

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} \theta }}\,{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} \theta }}\,{\dot {\theta }}$

Para ello necesitamos, en primer lugar la velocidad como función de $\theta$, que es algo que aun no tenemos. En la expresión de arriba aparece la velocidad como función de $\theta$ y de ${\dot {\theta }}$, que no es lo mismo. Debe aparecer solo $\theta$, no las dos cosas.

Despejamos ${\dot {\theta }}$ como función de $\theta$

${\dot {\theta }}={\frac {v_{0}}{b{\sqrt {1+k^{2}}}}}\mathrm {e} ^{k\theta }$

y sustituimos en la expresión de la velocidad

${\vec {v}}=v_{0}{\frac {{\vec {u}}_{2}-k{\vec {u}}_{1}}{\sqrt {1+k^{2}}}}$

Esta ya sí solo depende del ángulo $\theta$. Podría parecer que no lo hace, puesto que no aparece en la expresión, pero si está, escondido dentro de los vectores ${\vec {u}}_{1}$ y ${\vec {u}}_{2}$, que no son vectores constantes, sino dependientes de la posición (y, por tanto, del tiempo).

Esta expresión nos dice también que el unitario tangente a la trayectoria es

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{v}}={\frac {\vec {v}}{v_{0}}}={\frac {{\vec {u}}_{2}-k{\vec {u}}_{1}}{\sqrt {1+k^{2}}}}$

Aplicando ahora la regla de la cadena para hallar la aceleración tenemos

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} \theta }}\,{\dot {\theta }}={\frac {v_{0}}{\sqrt {1+k^{2}}}}\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{2}}{\mathrm {d} \theta }}-k{\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{1}}{\mathrm {d} \theta }}\right){\frac {v_{0}}{b{\sqrt {1+k^{2}}}}}\mathrm {e} ^{k\theta }$

Sustituyendo aquí las derivadas de los vectores unitarios llegamos a

${\vec {a}}={\frac {v_{0}^{2}\mathrm {e} ^{k\theta }}{b(1+k^{2})}}\left(-{\vec {u}}_{1}-k{\vec {u}}_{2}\right)$

Aceleración tangencial

La aceleración tangencial es nula, pues el movimiento es uniforme y su celeridad es constante

$|{\vec {v}}|=v_{0}$ ⇒ ${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=0$ ⇒ ${\vec {a}}_{t}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\vec {T}}={\vec {0}}$

Podemos demostrarlo también a partir de las expresiones vectoriales de la velocidad y la aceleración

${\vec {v}}=v_{0}{\frac {-k{\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2}}{\sqrt {1+k^{2}}}}$    ${\vec {a}}=-{\frac {v_{0}^{2}\mathrm {e} ^{k\theta }}{b(1+k^{2})}}\left({\vec {u}}_{1}+k{\vec {u}}_{2}\right)$

Multiplicando la una por la otra

${\vec {a}}\cdot {\vec {v}}=-{\frac {v_{0}^{3}\mathrm {e} ^{k\theta }}{b(1+k^{2})^{3/2}}}\left(-k{\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2}\right)\cdot \left({\vec {u}}_{1}+k{\vec {u}}_{2}\right)$

pero, teniendo en cuenta que ${\vec {u}}_{1}$ y ${\vec {u}}_{2}$ forman una base ortonormal

$\left(-k{\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2}\right)\cdot \left({\vec {u}}_{1}+k{\vec {u}}_{2}\right)=-k+k=0$

y si la aceleración es perpendicular a la velocidad, la aceleración tangencial, por definición, es nula.

Aceleración normal

Si la aceleración tangencial es nula, la aceleración normal es toda la aceleración

${\vec {a}}_{n}={\vec {a}}=-{\frac {v_{0}^{2}\mathrm {e} ^{k\theta }}{b(1+k^{2})}}\left({\vec {u}}_{1}+k{\vec {u}}_{2}\right)$

Esto nos permite calcular el vector normal a la trayectoria como

$|{\vec {a}}_{n}|={\frac {v_{0}^{2}\mathrm {e} ^{k\theta }}{b(1+k^{2})}}{\sqrt {1+k^{2}}}$ ⇒ ${\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{a_{n}}}=-{\frac {{\vec {u}}_{1}+k{\vec {u}}_{2}}{\sqrt {1+k^{2}}}}$

Centros de curvatura

Radio de curvatura

Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad, hallamos el radio de curvatura en cada punto de la trayectoria

$R={\frac {v^{2}}{a_{n}}}={\frac {v_{0}^{2}b{\sqrt {1+k^{2}}}}{v_{0}^{2}\mathrm {e} ^{k\theta }}}=b{\sqrt {1+k^{2}}}\mathrm {e} ^{-k\theta }$

Vemos que a medida que aumenta $\theta$, el radio de la curvatura se reduce, lo que corresponde a que la curva es cada vez más cerrada.

Centros de curvatura

Una vez que tenemos el radio de curvatura y el vector normal, podemos localizar los centros de curvatura

${\vec {r}}_{c}={\vec {r}}+R{\vec {N}}=b{\vec {u}}_{1}\mathrm {e} ^{-k\theta }+b{\sqrt {1+k^{2}}}\mathrm {e} ^{-k\theta }\left(-{\frac {{\vec {u}}_{1}+k{\vec {u}}_{2}}{\sqrt {1+k^{2}}}}\right)=-bk\mathrm {e} ^{-k\theta }{\vec {u}}_{2}$

Esto quiere decir que el conjunto de los sucesivos centros de curvatura (lo que se denomina técnicamente la evoluta) forma otra espiral logarítmica.