Espiral logarítmica

Enunciado

Una partícula recorre la espiral logarítmica de ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r} = b (\cos(\theta)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath})\mathrm{e}^{-k\theta}}

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} son constantes. El movimiento es uniforme a lo largo de la curva, con celeridad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} . En el instante inicial la partícula se encuentra en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=0}

1. Determine la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta = \theta(t)} .
2. Calcule el tiempo que tarda en llegar a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=\vec{0}} . ¿Cuántas vueltas da para ello?
3. Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas en cada punto de la trayectoria.
4. Determine la posición de los centros de curvatura de este movimiento.

Ley horaria

Para hallar la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta = \theta(t)} aplicamos que el movimiento es uniforme y por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right| = |\vec{v}| = v_0}

Sin embargo, lo que se nos da es la trayectoria como función de la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} y la velocidad no es la derivada de la posición respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} , sino respecto al tiempo. Para relacionar las dos cosas aplicamos la regla de la cadena

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta}}

Aquí Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta} =\mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t} es una función que debemos determinar.

Tomando módulos

$v_{0}=\left|{\vec {v}}\right|=\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}\right|{\dot {\theta }}$

Derivando en la ecuación de la trayectoria

$\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}=b(-\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\imath }}+\cos \theta {\vec {\jmath }})\mathrm {e} ^{-k\theta }-bk(\cos \theta {\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\jmath }})\mathrm {e} ^{-k\theta }$

Podemos simplificar esta expresión definiendo dos vectores unitarios

${\vec {u}}_{1}(\theta )=\cos \theta {\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\jmath }}$    ${\vec {u}}_{2}(\theta )=-\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\imath }}+\cos \theta {\vec {\jmath }}$

Estos vectores verifican que son unitarios y ortogonales

${\vec {u}}_{1}\cdot {\vec {u}}_{1}=1$    ${\vec {u}}_{2}\cdot {\vec {u}}_{2}=1$    ${\vec {u}}_{1}\cdot {\vec {u}}_{2}=0$

y tienen por derivadas

${\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{1}}{\mathrm {d} \theta }}={\vec {u}}_{2}$    ${\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{2}}{\mathrm {d} \theta }}=-{\vec {u}}_{1}$

El vector ${\vec {u}}_{1}$ es el unitario en la dirección del vector de posición instantáneo de la partícula, y ${\vec {u}}_{2}$ el ortogonal a él. Estos dos vectores van rotando a medida que la partícula se mueve.

Con ayuda de estos vectores, la posición se expresa

${\vec {r}}(\theta )=b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }{\vec {u}}_{1}(\theta )$

y la derivada respecto al ángulo $\theta$

${\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}=-kb\,\mathrm {e} ^{-k\theta }{\vec {u}}_{1}+b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }{\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{1}}{\mathrm {d} \theta }}=b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }\left({\vec {u}}_{2}-k{\vec {u}}_{1}\right)$

que es la expresión que ya teníamos, pero más concisa.

Imponiendo ahora que la celeridad es $v_{0}\,$ queda

$v_{0}=b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }\left|{\vec {u}}_{2}-k{\vec {u}}_{1}\right|{\dot {\theta }}=b{\sqrt {1+k^{2}}}\,\mathrm {e} ^{-k\theta }{\dot {\theta }}$

Para integrar esta ecuación separamos los diferenciales

${\frac {v_{0}}{b{\sqrt {1+k^{2}}}}}\,\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{-k\theta }\,\mathrm {d} \theta$

e integramos, teniendo en cuenta que para $t=0$, $\theta =0$

${\frac {v_{0}}{b{\sqrt {1+k^{2}}}}}\int _{0}^{t}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\theta }\mathrm {e} ^{-k\theta }\,\mathrm {d} \theta$

lo que nos da

${\frac {v_{0}t}{b{\sqrt {1+k^{2}}}}}=\left.\left(-{\frac {\mathrm {e} ^{-k\theta }}{k}}\right)\right|_{0}^{\theta }={\frac {1-\mathrm {e} ^{-k\theta }}{k}}$

Despejando de aquí

$\theta =-{\frac {1}{k}}\ln \left(1-{\frac {v_{0}k}{b{\sqrt {1+k^{2}}}}}t\right)$

Tiempo en llegar al origen

El tiempo que tarda la partícula en llegar al origen lo obtenemos exigiendo que ${\vec {r}}={\vec {0}}$. La posición para cada valor de $\theta$ es igual a

${\vec {r}}=b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }{\vec {u}}_{1}=\left(b-{\frac {v_{0}kt}{\sqrt {1+k^{2}}}}\right){\vec {u}}_{1}$

Este vector se anulará en

$t={\frac {b{\sqrt {1+k^{2}}}}{v_{0}k}}$

Este es el tiempo en llegar al centro.

Nótese que este valor de $t$ corresponde a un valor de $\theta \to \infty$. Puesto que $\theta$ representa el ángulo que el vector de posición forma con el eje X y que una circunferencia completa significa aumentar $\theta$ en $2\pi$, vemos que la partícula da infinitas vueltas antes de llegar al origen, aunque para ello requiere un tiempo finito. Igualmente, aunque dé infinitas vueltas, la distancia recorrida por la partícula es finita e igual a

$\Delta s=v_{0}t={\frac {b{\sqrt {1+k^{2}}}}{k}}$

Esto es posible porque las sucesivas vueltas son cada vez más pequeñas.

Variación de la distancia al origen

Otra posibilidad para hallar el tiempo en llegar al origen es considerar la variación en el tiempo de la distancia al centro

$r=|{\vec {r}}|=b\mathrm {e} ^{-k\theta }$

Derivando aquí respecto al tiempo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{r}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} =-kb\mathrm{e}^{-k\theta}\dot{\theta}=-\frac{kv_0}{\sqrt{1+k^2}}}

Obsérvese que la derivada del módulo de la posición no coincide con el módulo de la velocidad.

Vemos que la distancia al origen disminuye a ritmo constante (proporcionalmente a, pero no igual a, la celeridad). Inicialmente vale $b$, así que el tiempo en llegar al centro es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_f = \frac{b}{|\dot{r}|}= \frac{b\sqrt{1+k^2}}{kv_0}}

Aceleración

Forma vectorial

Para el cálculo de la aceleración tenemos un problema similar al de la velocidad. La cuestión es que la aceleracion no es la derivada de la velocidad respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} , sino respecto al tiempo, con lo que hay que tener mucho cuidado con qué se deriva y respecto a qué.

Partimos de las expresiones que ya conocemos para la velocidad

${\vec {v}}=b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }({\vec {v}}_{2}-k{\vec {u}}_{1}){\dot {\theta }}$

Conocemos también la ley horaria

$b\,\mathrm {e} ^{-k\theta }{\sqrt {1+k^{2}}}{\dot {\theta }}=v_{0}$ ⇒ $\theta =-{\frac {1}{k}}\ln \left({\frac {v_{0}kt}{b{\sqrt {1+k^{2}}}}}\right)$

Una posibilidad sería entonces sustituir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)} en la expresión de la velocidad y derivar lo que salga respecto al tiempo. Sin embargo debido a que en esta fórmula aparecen senos y cosenos de logaritmos, la posibilidad de equivocarse al derivar es muy alta.

La solución consiste en aplicar de nuevo la regla de la cadena. Vamos a considerar la velocidad como función del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} y calcular la aceleración como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}\theta}\,\dot{\theta}}

Para ello necesitamos, en primer lugar la velocidad como función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} , que es algo que aun no tenemos. En la expresión de arriba aparece la velocidad como función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} y de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}} , que no es lo mismo. Debe aparecer solo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} , no las dos cosas.

Despejamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}} como función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}=\frac{v_0}{b\sqrt{1+k^2}}\mathrm{e}^{k\theta}}

y sustituimos en la expresión de la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=v_0\frac{\vec{u}_2-k\vec{u}_1}{\sqrt{1+k^2}}}

Esta ya sí solo depende del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} . Podría parecer que no lo hace, puesto que no aparece en la expresión, pero si está, escondido dentro de los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_2} , que no son vectores constantes, sino dependientes de la posición (y, por tanto, del tiempo).

Esta expresión nos dice también que el unitario tangente a la trayectoria es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=\frac{\vec{v}}{v_0}=\frac{\vec{u}_2-k\vec{u}_1}{\sqrt{1+k^2}}}

Aplicando ahora la regla de la cadena para hallar la aceleración tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}\theta}\,\dot{\theta}=\frac{v_0}{\sqrt{1+k^2}}\left(\frac{\mathrm{d}\vec{u}_2}{\mathrm{d}\theta}-k\frac{\mathrm{d}\vec{u}_1}{\mathrm{d}\theta}\right)\frac{v_0}{b\sqrt{1+k^2}}\mathrm{e}^{k\theta} }

Sustituyendo aquí las derivadas de los vectores unitarios llegamos a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\frac{v_0^2\mathrm{e}^{k\theta}}{b(1+k^2)}\left(-\vec{u}_1-k\vec{u}_2\right) }

Aceleración tangencial

La aceleración tangencial es nula, pues el movimiento es uniforme y su celeridad es constante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}|=v_0}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{T}=\vec{0}}

Podemos demostrarlo también a partir de las expresiones vectoriales de la velocidad y la aceleración

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=v_0\frac{-k\vec{u}_1+\vec{u}_2}{\sqrt{1+k^2}}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=-\frac{v_0^2\mathrm{e}^{k\theta}}{b(1+k^2)}\left(\vec{u}_1+k\vec{u}_2\right)}

Multiplicando la una por la otra

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{v}=-\frac{v_0^3\mathrm{e}^{k\theta}}{b(1+k^2)^{3/2}}\left(-k\vec{u}_1+\vec{u}_2\right)\cdot\left(\vec{u}_1+k\vec{u}_2\right)}

pero, teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_2} forman una base ortonormal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(-k\vec{u}_1+\vec{u}_2\right)\cdot\left(\vec{u}_1+k\vec{u}_2\right)=-k+k = 0}

y si la aceleración es perpendicular a la velocidad, la aceleración tangencial, por definición, es nula.

Aceleración normal

Si la aceleración tangencial es nula, la aceleración normal es toda la aceleración

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_n=\vec{a}=-\frac{v_0^2\mathrm{e}^{k\theta}}{b(1+k^2)}\left(\vec{u}_1+k\vec{u}_2\right)}

Esto nos permite calcular el vector normal a la trayectoria como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{a}_n| = \frac{v_0^2\mathrm{e}^{k\theta}}{b(1+k^2)}\sqrt{1+k^2}}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n} = -\frac{\vec{u}_1+k\vec{u}_2}{\sqrt{1+k^2}}}

Centros de curvatura

Radio de curvatura

Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad, hallamos el radio de curvatura en cada punto de la trayectoria

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = \frac{v^2}{a_n}=\frac{v_0^2 b\sqrt{1+k^2}}{v_0^2\mathrm{e}^{k\theta}} = b\sqrt{1+k^2}\mathrm{e}^{-k\theta}}

Vemos que a medida que aumenta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} , el radio de la curvatura se reduce, lo que corresponde a que la curva es cada vez más cerrada.

Centros de curvatura

Una vez que tenemos el radio de curvatura y el vector normal, podemos localizar los centros de curvatura

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c = \vec{r}+R\vec{N}=b\vec{u}_1\mathrm{e}^{-k\theta}+ b\sqrt{1+k^2}\mathrm{e}^{-k\theta}\left(-\frac{\vec{u}_1+k\vec{u}_2}{\sqrt{1+k^2}}\right)=-bk\mathrm{e}^{-k\theta}\vec{u}_2}

Esto quiere decir que el conjunto de los sucesivos centros de curvatura (lo que se denomina técnicamente la evoluta) forma otra espiral logarítmica.