Partícula oscilando en parábola

Enunciado

Un punto material $P$ se mueve en el plano $OXY$ describiendo una trayectoria parabólica de ecuación $y^{2}=(b^{2}/a)x$. Se sabe que la partícula se halla inicialmente en reposo en la posición $x=a$, $y=b$; y que la componente $y$ de su aceleración verifica en todo instante la expresión: $a_{y}=-k^{2}y$ (con k = cte). Determine en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?

Solución

El movimiento de la partícula puede descomponerse en sus componentes cartesianas

${\vec {r}}(t)=x(t){\vec {\imath }}+y(t){\vec {\jmath }}$

siendo la aceleración

${\vec {a}}={\ddot {x}}{\vec {\imath }}+{\ddot {y}}{\vec {\jmath }}$

En este caso conocemos la relación entre la componente vertical de la aceleración y la coordenada correspondiente

${\ddot {y}}=-k^{2}y$

que nos dice que en la coordenada $y$ experimenta un movimiento armónico simple, con solución

$y=A\cos(kt+\beta )\,$

Las constantes $A$ y $\beta$ las obtenemos de las condiciones iniciales. Sabemos que inicialmente la partícula se encuentra en $y=b$ y su velocidad inicial es nula, por lo que

$b=y(0)=A\cos(\beta )\,$    $0={\dot {y}}(0)=-Ak\,\mathrm {sen} (\beta )$

de donde

$\beta =0\,$    $A=b\,$

y la coordenada y en cada instante es

$y(t)=b\cos(kt)\,$

La coordenada $x$ la obtenemos de la ecuación de la parábola

$x(t)={\frac {a}{b^{2}}}y^{2}(t)=a\cos ^{2}(kt)$

Aplicando relaciones trigonométricas, queda

$x={\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}\cos(2kt)$

que nos dice, que la partícula también oscila armónicamente en la dirección horizontal, pero con frecuencia doble que en la vertical.

El vector de posición instantánea es

${\vec {r}}(t)=a\cos ^{2}(kt){\vec {\imath }}+b\cos(kt){\vec {\jmath }}$

A partir de la posición obtenemos la velocidad

${\vec {v}}(t)=-2ak\cos(kt)\,\mathrm {sen} (kt){\vec {\imath }}-bk\,\mathrm {sen} (kt){\vec {\jmath }}$

Volvemos a derivar respecto al tiempo, para obtener la aceleración

${\vec {a}}(t)=2ak^{2}\left(\mathrm {sen} ^{2}(kt)-\cos ^{2}(kt)\right){\vec {\imath }}-bk^{2}\cos(kt){\vec {\jmath }}$

La siguiente posición de reposo se alcanza cuando la velocidad vuelve a ser nula. Separando las componentes de la velocidad

$0={\dot {x}}=-2ak\cos(kt)\mathrm {sen} (kt)$    $0={\dot {y}}=-bk\mathrm {sen} (kt)$

Estas dos componentes se anulan para

$kt=\pi \qquad \Rightarrow \qquad t={\frac {\pi }{k}}$

y la posición en ese instante es

${\vec {r}}(\pi /k)=a{\vec {\imath }}-b{\vec {\jmath }}$

que es la posición simétrica de la inicial respecto al eje de la parábola.

b=a	b=3a