No Boletín - Dos varillas (Ex.Ene/16)

Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por dos varillas móviles, $\,AB\,$ (sólido "2") y $\,OD\,$ (sólido "0"), ambas de grosor despreciable e igual longitud $\,2a,\,$ y contenidas siempre en el plano fijo $\,OXY\,$ (sólido "1"). Cada varilla se encuentra articulada en un punto fijo: la primera en su centro $\,C(a,0)\,$ y la segunda en su extremo $\,O(0,0).\,$ Además, ambas varillas se mueven vinculadas entre sí porque la varilla $\,OD\,$ posee una acanaladura longitudinal por la cual desliza el extremo $\,A\,$ de la varilla $\,AB.\,$ Se utiliza el ángulo $\,\theta ,\,$ formado por la varilla $\,AB\,$ y el eje $\,OX,\,$ como parámetro descriptivo del movimiento del sistema.

Nota: Obsérvese que, con ayuda del triángulo isósceles $\,OAC\,$ de la figura, se puede determinar (en función de $\,\theta \,$) el ángulo formado por la varilla $\,OD\,$ y el eje $\,OX,\,$ o también el ángulo formado por ambas varillas.

Determine las siguientes magnitudes:

1. Velocidad angular $\,{\vec {\omega }}_{20}\,$
2. Velocidad $\,{\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$
3. Vector de posición $\,{\overrightarrow {OI_{20}}}$ del centro instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}$

Velocidad angular del movimiento {20}

Exigiendo que la suma de todos los ángulos internos del triángulo isósceles $\,OAC\,$ sea $\,\pi \,$ radianes, determinamos el ángulo $\,\beta \,$ (en color azul en la figura adjunta) que forman ambas varillas entre sí:

$2\,\beta +\theta =\pi \,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\beta ={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}}$

Al ser $\,\beta \,$ el ángulo que forma la varilla $\,AB\,$ (sólido "2") con respecto a la varilla $\,OD\,$ (sólido "0"), la velocidad angular $\,{\vec {\omega }}_{20}\,$ puede expresarse así:

${\vec {\omega }}_{20}=-\,{\dot {\beta }}\,{\vec {k}}$

donde el signo negativo se justifica mediante el siguiente razonamiento: si el ángulo $\,\beta \,$ que forma la varilla "2" respecto a la varilla "0" aumenta (${\dot {\beta }}>0\,$), la rotación $\{20\}\,$ es horaria ($\,{\vec {\omega }}_{20}\cdot {\vec {k}}<0$). Ampliando este razonamiento a la situación inversa, podemos resumir la justificación del signo negativo en la necesidad de garantizar las siguientes correspondencias:

$\mathrm {si} \,\,\,{\dot {\beta }}>0\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}_{20}\cdot {\vec {k}}<0\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {si} \,\,\,{\dot {\beta }}<0\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}_{20}\cdot {\vec {k}}>0$

Sustituyendo la expresión de $\,\beta \,$ obtenida al principio, determinamos $\,{\vec {\omega }}_{20}\,$:

                         ${\vec {\omega }}_{20}=-\,{\dot {\beta }}\,{\vec {k}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\dot {\theta }}{2}}\,{\vec {k}}$

Velocidad {20} del punto O

Empezaremos calculando la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$, y para ello vamos a determinar previamente la reducción cinemática $\{21\}\,$ en el punto $\,C\,$. Elegimos $\,C\,$ como centro de reducción $\{21\}\,$ porque la varilla "2" se halla articulada en dicho punto, y por tanto $\,C\,$ es un punto fijo en el movimiento $\{21\}\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {0}}$

Al ser $\,\theta \,$ el ángulo que forma la varilla $\,AB\,$ (sólido "2") con respecto al eje $\,OX\,$ (sólido "1"), la velocidad angular $\,{\vec {\omega }}_{21}\,$ puede expresarse así:

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}$

donde el signo positivo (que se omite) delante de $\,{\dot {\theta }}\,$ se justifica mediante el siguiente razonamiento: si el ángulo $\,\theta \,$ que forma la varilla "2" con respecto al eje $\,OX\,$ del sólido "1" aumenta (${\dot {\theta }}>0\,$), la rotación $\{21\}\,$ es antihoraria ($\,{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {k}}>0$). Ampliando este razonamiento a la situación inversa, cabe resumir la justificación del signo positivo en la necesidad de garantizar las siguientes correspondencias:

$\mathrm {si} \,\,\,{\dot {\theta }}>0\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {k}}>0\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {si} \,\,\,{\dot {\theta }}<0\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {k}}<0$

Conocida la reducción cinemática $\{{\vec {\omega }}_{21}\,;{\vec {v}}_{21}^{\,C}\}$, ya podemos calcular la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ mediante la ecuación del campo de velocidades $\{21\}\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,O}=\underbrace {{\vec {v}}_{21}^{\,C}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CO}}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}\times (-\,a\,{\vec {\imath }}\,\,)=-\,a{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}$

Por otra parte, el punto $\,O\,$ es un punto fijo en el movimiento $\{01\}\,$ porque la varilla "0" se halla articulada en él:

${\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}$

Conocidas las velocidades ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ y ${\vec {v}}_{01}^{\,O}\,$, la ley de composición de velocidades nos permite determinar la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{20}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\,\vec{v}^{\, O}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{v}^{\, O}_{20}=\vec{v}^{\, O}_{21}\!-\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}=-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath} }

Vector de posición del C.I.R. del movimiento {20}

La posición del centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} respecto al origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} se puede determinar ANALÍTICAMENTE mediante la fórmula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI_{20}}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\,\, O}_{20}}{|\,\vec{\omega}_{20}|^{2}}=2a\,\vec{\imath} }

El vector de posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI_{20}}\,} obtenido es constante (no depende del parámetro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} descriptivo del movimiento del sistema). Por tanto, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} es en realidad un centro permanente de rotación.

También es posible determinar la posición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} GRÁFICAMENTE.

Para ello, localizamos primero los centros permanentes de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\,} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\,} , que coinciden con los puntos de articulación de las varillas "2" y "0", respectivamente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\equiv C\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,I_{01}\equiv O }

En cuanto al movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}\!\!\,} , se nos indica que el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} de la varilla "2" está obligado a recorrer la acanaladura longitudinal de la varilla "0", lo cual nos permite saber que la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, A}_{20}\,} es necesariamente colineal con la propia varilla "0". Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y trazando la recta que pasa por los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,I_{01}\,} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,I_{21}\,} (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,I_{20}\,} en la intersección de ambas rectas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{r} \vec{v}_{20}^{A}\perp\overrightarrow{I_{20}A} \\ \\ \{I_{01},\, I_{21},\, I_{20}\} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{A} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, A \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{01}I_{21}} }

Por último, subrayemos la obligada coincidencia de resultados entre el procedimiento analítico y el procedimiento gráfico utilizados para determinar la posición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,I_{20}\,} . Nótese que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,A\,} recorre en su movimiento absoluto una circunferencia de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,a\,} y centro en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,C\,} (marcada con línea negra discontinua en la figura adjunta). El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} se sitúa sobre dicha circunferencia y en la posición diametralmente opuesta a la posición del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,O\,} , de tal modo que el diámetro fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,OI_{20}\,} es "visto" siempre bajo un ángulo de 90º desde el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,A\,} con independencia de la posición concreta de este último sobre la circunferencia (arco capaz de 90º).