No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enunciado

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY\,} (sólido "1"), está constituido por un disco de centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX\,} , y por otro disco de centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r\,} (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY\,} a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}}

1. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,\,} ?

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F}

Solución

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX\,} de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\equiv D }

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D\,} , se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20} }

resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje $OY\,$ de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:

$I_{21}\equiv E$

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto $E\,$, se obtiene:

${\vec {v}}_{01}^{\,E}={\vec {v}}_{02}^{\,E}+\underbrace {{\vec {v}}_{21}^{\,E}} _{\displaystyle {\vec {0}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{02}^{\,E}={\vec {v}}_{01}^{\,E}$

resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" y el disco "0" se mantienen siempre en contacto tangente mutuo (punto $C\,\,$), siendo ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,$ y $C\,$ no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque $C\,$ no está alineado con $I_{21}\,$ e $I_{01}\,$). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:

${\vec {v}}_{20}^{\,C}\perp {\overrightarrow {AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0$

resultando ser VERDADERA la igualdad (c) de la primera pregunta.

Teniendo en cuenta que ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\neq {\vec {0}}\,$ y que ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\perp {\overrightarrow {AB}}\,$, llegamos a la conclusión de que:

$|{\vec {v}}_{20}^{\,C}\times {\overrightarrow {AB}}|=|{\vec {v}}_{20}^{\,C}||{\overrightarrow {AB}}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}\times {\overrightarrow {AB}}\neq {\vec {0}}$

resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta (por tanto, es la que hay que marcar como respuesta).

Por último, trazando la perpendicular a ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ en el punto $C\,$ y trazando la recta que pasa por los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\,} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\,} (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} en la intersección de ambas rectas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{r} \vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F }

Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,I_{20}\equiv F\,} .