No Boletín - Detección de identidad falsa (Ex.Jun/13)

Enunciado

Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") en movimiento relativo. ¿Cuál de las siguientes identidades es falsa?

1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^{\, P}=\vec{v}_{20}^{\, P}+\vec{v}_{01}^{\, Q}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{QP}}

2) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^{\, P}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}_{20}^{\, P}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{v}_{01}^{\, P}}{dt}\right|_1+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{\, P}}

3) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{\omega}_{20}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{\omega}_{01}}{dt}\right|_1+ \vec{\omega}_{20}\times\vec{\omega}_{01}}

4) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\cdot\vec{\alpha}_{21}=\vec{\omega}_{01}\cdot(\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01})}

Identidad 1: Correcta

La identidad 1 se obtiene de sustituir la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01} (aplicada a los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q\,} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{01}^{\, P}=\vec{v}_{01}^{\, Q}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{QP} }

en la ley de composición de velocidades (aplicada en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} ):

${\vec {v}}_{21}^{\,P}={\vec {v}}_{20}^{\,P}+{\vec {v}}_{01}^{\,P}={\vec {v}}_{20}^{\,P}+{\vec {v}}_{01}^{\,Q}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {QP}}$

Por tanto, la identidad 1 es correcta.

Identidad 2: Correcta

La identidad 2 se obtiene de sustituir las definiciones de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{20}^{\, P}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{01}^{\, P}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{20}^{\, P}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}_{20}^{\, P}}{dt}\right|_0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}_{01}^{\, P}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}_{01}^{\, P}}{dt}\right|_1 }

en la ley de composición de aceleraciones o teorema de Coriolis (aplicada en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^{\, P}=\vec{a}_{20}^{\, P}+\vec{a}_{01}^{\, P}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{\, P}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}_{20}^{\, P}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{v}_{01}^{\, P}}{dt}\right|_1+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{\, P} }

Por tanto, la identidad 2 es correcta.

Identidad 3: Falsa

Si se sustituyen las definiciones de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{\omega}_{20}}{dt}\right|_0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{\omega}_{01}}{dt}\right|_1 }

en la ley de composición de aceleraciones angulares:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} }

se obtiene la identidad:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{\omega}_{20}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{\omega}_{01}}{dt}\right|_1+ \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} }

Pero observamos que la identidad 3 difiere de ésta en el último sumando, cuyo producto vectorial aparece permutado (lo cual equivale a un cambio de signo).

Por tanto, la identidad 3 es la falsa.

Identidad 4: Correcta

La identidad 4 se obtiene realizando el producto escalar de la ley de composición de aceleraciones angulares por el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\,} , operación que provoca la desaparición del último término debido a la ortogonalidad entre los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}\,\,\,\rightarrow\,\,\, \vec{\omega}_{01}\cdot\,\vec{\alpha}_{21}=\vec{\omega}_{01}\cdot\,(\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01})+\vec{\omega}_{01}\cdot\,(\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20})=\vec{\omega}_{01}\cdot\,(\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}) }

Por tanto, la identidad 4 es correcta.