No Boletín - Dos discos II (Ex.Ene/15)

Enunciado

Archivo:Discos-grande-chico.png

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY\,} (sólido "1"), está constituido por un disco de centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX\,} , y por otro disco de centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r\,} (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el disco anterior a la vez que se mantiene en contacto tangente con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY\,} .

1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{21}\times\vec{\jmath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{21}\cdot\vec{\jmath}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{01}}
2. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\,\,} ? Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{(a)}\,\,\,I_{21}\equiv E\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{21}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{21}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{21}\equiv H}

Solución

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX\,} de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\equiv D }

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D\,} , se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20} }

resultando ser VERDADERA la igualdad (c) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el disco "0". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {20} coincide con el punto de contacto entre ambos discos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\equiv C }

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} , se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, C}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{v}^{\, C}_{01}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{01} }

resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {21}, se sabe que el disco "2" mantiene siempre contacto puntual con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY\,} de la escuadra "1". Esto obliga al centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} del disco "2" a realizar un movimiento rectilíneo paralelo al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY\,} y, por tanto, la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{21}\,} es paralela a dicho eje:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{21}\parallel OY\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{21}\parallel\vec{\jmath} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{21}\times\vec{\jmath}=\vec{0} }

resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Trazando la perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, B}_{21}\,} en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} y trazando la recta que pasa por los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\,} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\,} (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\,} en la intersección de ambas rectas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{r} \vec{v}_{21}^{\, B}\perp\overrightarrow{I_{21}B} \\ \\ \{I_{21},\, I_{20},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{21}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{21}^{\, B} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, B \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{20}I_{01}}\,\equiv\,G }

Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (c) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,I_{21}\equiv G\,} .

Y en cuanto a la primera pregunta, habiéndose visto ya que son verdaderas las igualdades (a), (c) y (d), sólo falta comprobar que la igualdad falsa (la que hay que marcar) es la igualdad (b).

Al ser $E\,$ el punto de contacto entre el disco "2" y el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY\,} de la escuadra "1", la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, E}_{21}\,} es la velocidad de deslizamiento entre ambos sólidos (sabemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, E}_{21}\neq\vec{0}\,} porque Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\not\equiv E\,} ). Pero la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Por tanto, podemos asegurar que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\, E}_{21}\parallel OY\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{21}\parallel\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{21}\not\perp\vec{\jmath} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{21}\cdot\vec{\jmath}\neq 0 }

resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta.