No Boletín - Cono sobre plano horizontal (Ex.Ene/18)

Enunciado

Un cono recto (sólido "2"), con un semiángulo de $\pi /6\,\,\mathrm {rad} \,$ en el vértice, rueda sin deslizar sobre el plano horizontal $OX_{1}Y_{1}\,$ del triedro fijo $OX_{1}Y_{1}Z_{1}\,$ (sólido "1"), manteniendo su vértice fijo en el punto $O\,$ y teniendo en cada instante una generatriz $OG\,$ en contacto con el citado plano horizontal. Se define un triedro auxiliar móvil $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$ (sólido "0"), cuyo eje $OZ_{0}\,$ coincide con el eje $OZ_{1}\,$, y cuyo plano $OX_{0}Z_{0}\,$ contiene siempre al centro $C\,$ de la base del cono y, por tanto, contiene también al eje de simetría $OZ_{2}\,$ del cono. Se conoce como dato que ${\vec {\omega }}_{01}(t)=\Omega \,{\vec {k}}_{1}\,$ (siendo $\Omega \,$ una constante positiva). Sea $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$.

1. ¿Cuál es el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{21\}\,$?
2. Determine la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}\,$.
3. Determine la aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$.

Ejes de rotación de los movimientos {21}, {01} y {20}

Aunque sólo se pide el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{21\}\,$, conviene determinar también los ejes de rotación de los movimientos $\{01\}\,$ y $\{20\}\,$.

Se nos dice que el cono (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el plano horizontal $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). La condición de no deslizamiento implica la nulidad de las velocidades instantáneas $\{21\}\,$ de todos los puntos de la generatriz de contacto entre el cono y el plano $OX_{1}Y_{1}\,$ (generatriz $OG\,$), lo que a su vez conlleva la pertenencia de dicha generatriz al eje instantáneo de rotación del movimiento $\{21\}\,$. Así pues, el eje instantáneo de rotación del movimiento $\{21\}\,$ coincide con el eje $OX_{0}\,$:

$\mathrm {E.I.R.} \{21\}\equiv OX_{0}\,$

tratándose de un eje instantáneo (y no permanente) de rotación al ser un eje móvil respecto al observador "1".

Dado que el eje $OZ_{0}$ (sólido "0") es coincidente con el eje $OZ_{1}$ (sólido "1"), es obvio que todos sus puntos están en reposo permanente en el movimiento $\{01\}\,$ y constituyen el eje permanente de rotación del movimiento $\{01\}\,$:

$\mathrm {E.P.R.} \{01\}\equiv OZ_{1}\,$

tratándose de un eje permanente de rotación al ser un eje fijo respecto al observador "1".

Por último, se observa que el eje de simetria $OZ_{2}\,$ del cono (sólido "2") ocupa una posición fija en el triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$ (sólido "0"), de modo que todos sus puntos se hallan en reposo permanente en el movimiento $\{20\}\,$ y constituyen el eje permanente de rotación del movimiento $\{20\}\,$:

$\mathrm {E.P.R.} \{20\}\equiv OZ_{2}\,$

tratándose de un eje permanente de rotación al ser un eje fijo respecto al observador "0".

Velocidad angular del movimiento {20}

Aunque sólo se pide la velocidad angular del movimiento $\{20\}\,$, sin apenas esfuerzo adicional obtendremos también la velocidad angular del movimiento $\{21\}\,$.

Se conoce como dato la velocidad angular del movimiento $\{01\}\,$:

${\vec {\omega }}_{01}(t)=\Omega \,{\vec {k}}_{1}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\,$

Por otra parte, sabemos que la velocidad angular de cada movimiento tiene necesariamente la dirección del eje de rotación de dicho movimiento. Por tanto:

${\begin{array}{lll}\mathrm {E.I.R.} \{21\}\equiv OX_{0}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,&{\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {\imath }}_{0}\\\\\mathrm {E.P.R.} \{20\}\equiv OZ_{2}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,&{\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{2}=\omega _{20}\,\left(\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\frac {1}{2}}\,{\vec {k}}_{0}\right)\end{array}}$

Exigiendo el cumplimiento de la ley de composición de velocidades angulares y separando componentes en la base "0", se obtiene un sistema de dos ecuaciones para las incógnitas $\omega _{21}\,$ y $\omega _{20}\,$:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{l}\omega _{21}=\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\omega _{20}\\\\0=\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\omega _{20}+\Omega \end{array}}\right.$

Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtienen las siguientes soluciones:

${\begin{array}{lll}\omega _{20}=-2\,\Omega &\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {\omega }}_{20}=-\Omega \,({\sqrt {3}}\,{\vec {\imath }}_{0}\,+\,{\vec {k}}_{0})\\\\\omega _{21}=-{\sqrt {3}}\,\Omega &\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {\omega }}_{21}=-{\sqrt {3}}\,\Omega \,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}$

Aceleración angular del movimiento {21}

Calculamos primero, mediante su definición, las aceleraciones angulares de los movimientos $\{01\}\,$ y $\{20\}\,$:

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}$

y, a continuación, determinamos la aceleración angular del movimiento $\{21\}\,$ mediante la ley de composición de aceleraciones angulares:

${\vec {\alpha }}_{21}=\underbrace {{\vec {\alpha }}_{20}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\,+\,\underbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\,+\,{\vec {\omega }}_{01}\times \,{\vec {\omega }}_{20}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\,\times \,[-\Omega \,({\sqrt {3}}\,{\vec {\imath }}_{0}\,+\,{\vec {k}}_{0})]=-{\sqrt {3}}\,\Omega ^{2}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

También se puede calcular la aceleración angular del movimiento $\{21\}\,$ derivando respecto al tiempo la velocidad angular del movimiento $\{21\}\,$:

${\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\underbrace {\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\,+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\times \,{\vec {\omega }}_{21}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times [-{\sqrt {3}}\,\Omega \,{\vec {\imath }}_{0}]=-{\sqrt {3}}\,\Omega ^{2}\,{\vec {\jmath }}_{0}$