Composición de dos rotaciones que se cruzan (Ex.Sep/12)

Enunciado

Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") tales que el movimiento relativo {20} es una rotación alrededor del eje { $x=0\,$, $z=L\,$} (con $L\neq 0\,$); mientras que el movimiento de arrastre {01} es una rotación alrededor del eje { $y=0\,$, $z=-L\,$}. Las velocidades angulares relativa y de arrastre tienen ambas el mismo módulo: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{\omega}_{20}|=|\vec{\omega}_{01}|=\Omega\neq 0\,} , y cada una de ellas apunta en el sentido positivo del eje cartesiano al cual es paralela.

1. ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
2. ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

Solución

Tenemos la información necesaria para determinar los vectores ${\vec {\omega }}_{20}\,$ y ${\vec {\omega }}_{01}.\,$ El enunciado nos proporciona sus módulos $(|\,{\vec {\omega }}_{20}|=|\,{\vec {\omega }}_{01}|=\Omega )\,$, sus direcciones $({\vec {\omega }}_{20}\parallel \mathrm {EIR\{20\}} \parallel OY\,$; y ${\vec {\omega }}_{01}\parallel \mathrm {EIR\{01\}} \parallel OX)\,$ y sus correspondientes sentidos $(+{\vec {\jmath }}\,$ y $+{\vec {\imath }}\,)\,$. Así que:

${\vec {\omega }}_{20}=\Omega \,{\vec {\jmath }}\;;\;\;\;\;\;\;{\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {\imath }}$

La ley de composición de velocidades angulares nos permite determinar la velocidad angular del movimiento {21}:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,)$

Por otra parte, observando las ecuaciones del EIR{20} y del EIR{01}, nos damos cuenta de que ambos ejes no son concurrentes, sino que se cruzan en el espacio.

NOTA: Cuando se componen dos rotaciones puras de ejes conocidos, es interesante comprobar si ambos ejes son o no concurrentes. Porque en el caso de que ambos ejes se corten en un punto, automáticamente sabemos que en dicho punto la velocidad del movimiento compuesto va a ser nula, y por tanto el movimiento compuesto será otra rotación pura cuyo eje pasará por el punto de concurrencia.

Para clasificar el movimiento {21} necesitamos ahora calcular la velocidad {21} de algún punto (para determinar después el segundo invariante). Vamos a hallar, por ejemplo, la velocidad {21} del origen de coordenadas $O(0,0,0)\,$ como suma de las velocidades {20} y {01} de dicho punto (ley de composición de velocidades). Y para calcular las velocidades {20} y {01} de $O\,$ nos apoyaremos, respectivamente, en los puntos $A(0,0,L)\in \mathrm {EIR\{20\}} \,$ y $B(0,0,-L)\in \mathrm {EIR\{01\}} \,$. Así:

${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {v}}_{20}^{\,O}\,+\,{\vec {v}}_{01}^{\,O}=(\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\,A}} _{={\vec {0}}}\,+\,{\vec {\omega }}_{20}\,\times \,{\overrightarrow {AO}})\,+\,(\underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,B}} _{={\vec {0}}}\,+\,{\vec {\omega }}_{01}\,\times \,{\overrightarrow {BO}})=\Omega \,{\vec {\jmath }}\,\times \,(-L\,{\vec {k}}\,)\,+\,\Omega \,{\vec {\imath }}\,\times \,L\,{\vec {k}}=-\Omega L({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,)$

Calculamos ahora el segundo invariante:

$v_{21}^{\mathrm {min} }={\frac {{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {v}}_{21}^{\,O}}{|\,\omega _{21}|}}=-{\sqrt {2}}\,\Omega L$

Concluimos, pues, que el movimiento {21} es un movimiento helicoidal, ya que tanto el primer como el segundo invariante son no nulos:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}=\Omega \,({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,)\neq {\vec {0}}\\\\v_{21}^{\mathrm {min} }=-{\sqrt {2}}\,\Omega L\neq 0\end{array}}\right\}\,\,\,\longrightarrow \,\,\,$ {21} es un MOVIMIENTO HELICOIDAL

Obsérvese que la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ ha resultado ser paralela a la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$. Esto implica que el EIRMD{21} pasa por el origen de coordenadas $O\,$. Por otra parte, la dirección del EIRMD{21} es la dirección del vector velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$. En definitiva, las ecuaciones del EIRMD{21} son:

${\frac {x}{1}}={\frac {y}{1}}={\frac {z}{0}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\{y=x,\,\,z=0\}$

Si por simple inspección no nos diésemos cuenta de que ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\parallel {\vec {\omega }}_{21}\,$ y que, por tanto, $O\in \mathrm {EIRMD\{21\}} \,$, lo detectaríamos al tratar de calcular un punto $I\,$ perteneciente al EIRMD{21} utilizando la fórmula habitual:

${\overrightarrow {OI^{*}}}={\frac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{\,O}}{|\,{\vec {\omega }}_{21}|^{\,2}}}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,I^{*}\equiv O\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,O\in \mathrm {EIRMD\{21\}}$