Ejemplo de campo de velocidades de un sólido

Enunciado

Un campo de velocidades de un sistema de partículas tiene la expresión, en el SI,

${\vec {v}}=(2+6y+3z){\vec {\imath }}+(3-6x-2z){\vec {\jmath }}+(1-3x+2y){\vec {k}}$

1. Pruebe que corresponde al movimiento de un sólido rígido.
2. Determine la velocidad angular y la velocidad de deslizamiento.
3. Halle la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.

Velocidad de un sólido rígido

Para probar que corresponde a un posible movimiento de un sólido rígido, lo más directo es usar la condición cinemática de rigidez, esto es, probar que el campo de velocidades es equiproyectivo. Esto se puede escribir en la forma

$({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1})\cdot ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})=0$

Consideramos dos puntos arbitrarios

${\vec {r}}_{1}=x_{1}{\vec {\imath }}+y_{1}{\vec {\jmath }}+z_{1}{\vec {k}}$     ${\vec {r}}_{2}=x_{2}{\vec {\imath }}+y_{2}{\vec {\jmath }}+z_{2}{\vec {k}}$

con velocidades

${\vec {v}}_{1}=(2+6y_{1}+3z_{1}){\vec {\imath }}+(3-6x_{1}-2z_{1}){\vec {\jmath }}+(1-3x_{1}+2y_{1}){\vec {k}}$     ${\vec {v}}_{2}=(2+6y_{2}+3z_{2}){\vec {\imath }}+(3-6x_{2}-2z_{2}){\vec {\jmath }}+(1-3x_{2}+2y_{2}){\vec {k}}$

Hallamos la posición relativa

${\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}=(x_{2}-x_{1}){\vec {\imath }}+(y_{2}-y_{1}){\vec {\jmath }}+(z_{2}-z_{1}){\vec {k}}=\Delta x{\vec {\imath }}+\Delta y{\vec {\jmath }}+\Delta z{\vec {k}}$

y la velocidad relativa

${\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1}=(6\Delta y+3\Delta z){\vec {\imath }}+(-6\Delta x-2\Delta z){\vec {\jmath }}+(-3\Delta x+2\Delta y){\vec {k}}$

Calculamos su producto escalar

$({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1})\cdot ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})=(6\Delta y+3\Delta z)\Delta x+(-6\Delta x-2\Delta z)\Delta y+(-3\Delta x+2\Delta y)\Delta z=0$

Por tanto el campo es equiproyectivo y corresponde al movimiento de un sólido rígido.

Velocidad angular y de deslizamiento

Velocidad angular

Podemos hallar la velocidad angular del movimiento simplemente comparando la expresión del enunciado con la expresión general

${\vec {v}}({\vec {r}})={\vec {v}}_{0}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

Sustituyendo la expresión en componentes cartesianas

${\vec {v}}=v_{x0}{\vec {\imath }}+v_{y0}{\vec {\jmath }}+v_{z0}{\vec {k}}+\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\\omega _{x}&\omega _{y}&\omega _{z}\\x&y&z\end{matrix}}\right|$

Desarrollando e igualando nos queda

${\begin{array}{rcl}2+6y+3z&=&v_{x0}+\omega _{y}z-\omega _{z}y\\3-6x-2z&=&v_{y0}+\omega _{z}x-\omega _{x}z\\1-3x+2y&=&v_{z0}+\omega _{x}y-\omega _{y}x\end{array}}$

Dado que esto se cumple para todo $x$, $y$ y $z$ debe ser

${\vec {\omega }}=2{\vec {\imath }}+3{\vec {\jmath }}-6{\vec {k}}$    ${\vec {v}}_{0}=2{\vec {\imath }}+3{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

Velocidad de deslizamiento

La velocidad de deslizamiento es la proyección de la velocidad de cualquier punto en la dirección de la velocidad angular. La obtenemos mediante el producto escalar por el vector unitario en dicha dirección. Este vector unitario es

${\vec {u}}={\frac {\vec {\omega }}{\omega }}={\frac {2{\vec {\imath }}+3{\vec {\jmath }}-6{\vec {k}}}{\sqrt {2^{2}+3^{2}+6^{2}}}}={\frac {2}{7}}{\vec {\imath }}+{\frac {3}{7}}{\vec {\jmath }}-{\frac {6}{7}}{\vec {k}}$

resultando la velocidad de deslizamiento

$v_{d}={\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=1$

Y el vector velocidad de deslizamiento se obtiene multiplicando por el unitario en la dirección de la velocidad angular

${\vec {v}}_{d}=v_{d}{\vec {u}}={\frac {2}{7}}{\vec {\imath }}+{\frac {3}{7}}{\vec {\jmath }}-{\frac {6}{7}}{\vec {k}}$

EIRMD

Podemos obtener la posición del EIRMD empleando la fórmula general fórmula general

${\vec {r}}={\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{0}}{\omega ^{2}}}+\lambda {\vec {\omega }}={\frac {3}{7}}{\vec {\imath }}-{\frac {2}{7}}{\vec {\jmath }}+\lambda \left(2{\vec {\imath }}+3{\vec {\jmath }}-6{\vec {k}}\right)$