Enunciado
Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m}
se encuentra sujeta a un resorte de constante 
y longitud natural nula, el cual ejerce una fuerza
La posición inicial de la masa y su velocidad inicial son:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}}
- Exprese el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O}
y la energía mecánica de la partícula en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x}
, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y}
, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z}
y sus derivadas temporales, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}}
, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{y}}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{z}}
.
- Demuestre que las dos magnitudes anteriores son integrales primeras y evalúelas en función de las condiciones iniciales.
- Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano OXY y que su velocidad areolar respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O}
es constante.
Momento cinético y energía
Momento cinético
Obtenemos el momento cinético multiplicando el vector de posición por la cantidad de movimiento. Separando en coordenadas cartesianas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v}=m\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & z \\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{matrix}\right| = m(y\dot{z}-z\dot{y})\vec{\imath}+m(z\dot{x}-x\dot{z})\vec{\jmath} + (x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}}
Energía mecánica
La energía mecánica es suma de la cinética
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)}
y la potencial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)}
Resultando la energía
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)}
Integrales primeras
Momento cinético
La constancia del momento cinético es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza central.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}\times\vec{F}=-k\vec{r}\times\vec{r}=\vec{0}}
Podemos llegar a este resultado componente a componente a partir de la expresión obtenida en el primer apartado. Así, para la componente z del momento cinético
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m(x\dot{y}-y\dot{x})\right) = m\left(\dot{x}\dot{y}+x\ddot{y}-\dot{y}\dot{x}-y\ddot{x}\right) = x(m\ddot{y})-y(m\ddot{x})}
Sustituyendo aquí la ley de Hooke
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\ddot{x}=-kx}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\ddot{y}=-ky}
queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=-kxy+kxy=0}
El valor del momento cinético lo obtenemos sustituyendo las condiciones iniciales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}=m\vec{r}_0\times\vec{v}_0 = mx_0v_0\vec{k}}
y, separando en sus componentes cartesianas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_x = m(y\dot{z}-z\dot{y})=0}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_y=m(z\dot{x}-x\dot{z})=0}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_z=m(x\dot{y}-y\dot{x})=mx_0v_0}
Energía mecánica
La constancia de la energía mecánica es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza conservativa:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}-\frac{\delta W}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}-P=0}
También podemos comprobar que la energía mecánica es una integral primera derivando respecto al tiempo la expresión de ella que obtuvimos en el primer apartado:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{m}{2}(2\dot{x}\ddot{x}+2\dot{y}\ddot{y}+\dot{z}\ddot{z})+ \frac{k}{2}(2x\dot{x}+2y\dot{y}+2z\dot{z})}
Agrupando términos y aplicando de nuevo la ley de Hooke
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\dot{x}(m\ddot{x}+kx)+ \dot{y}(m\ddot{y}+ky) +\dot{z}(m\ddot{z}+kz)= 0}
Por tanto, la energía mecánica es una constante de movimiento. Su valor lo obtenemos igualándola a su valor inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2+z^2) = \frac{mv_0^2}{2}+\frac{kx_0^2}{2}}
Movimiento plano
Al ser constante el momento cinético, la trayectoria es plana, siendo el plano de la órbita uno ortogonal al vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}}
. Este plano es el definido por el vector de posición inicial (medido desde el centro de fuerzas) y la velocidad inicial.
En este caso tenemos que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_0=x_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}}
El plano definido por estos dos vectores y el centro de fuerzas es el plano OXY, por lo que la trayectoria se limita a este plano.
La velocidad areolar con la que se barre la órbita es proporcional al momento cinético y por tanto constante.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{V}_A=\frac{1}{2}\vec{r}\times\vec{v}=\frac{1}{2m}\vec{L}=\frac{1}{2}x_0v_0\vec{k}}
En el caso del oscilador armónico las órbitas se pueden determinar analíticamente y resultan elipses de ecuaciones paramétricas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = x_0\cos(\omega t)\qquad y = \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)\qquad z = 0\qquad \omega = \sqrt\frac{k}{m}}
Estas elipses tienen al origen de coordenadas como centro. Al ser constante la velocidad areolar, la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales.
