No Boletín - Otro tiro parabólico (Ex.Sep/15)

Enunciado

Un proyectil se mueve en el plano vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXZ\,} . Se conoce su aceleración constante (debida a su propio peso), y también su posición y su velocidad en el instante inicial (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0\,} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t)=-g\,\vec{k}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{r}(0)=h\,\vec{k}\,\,\,; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}(0)=v_0\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}+ \mathrm{sen}(\theta)\,\vec{k}\,] }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0\,} tienen valores positivos, y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} está comprendido en el intervalo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0<\theta<\pi/2.\,}

1. Determine el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante inicial.
2. Determine la celeridad del proyectil en el instante en el que su trayectoria corta al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX.\,}

Radio de curvatura en el instante inicial

El radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante inicial puede calcularse a partir de su velocidad y su aceleración en dicho instante mediante la fórmula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\kappa}(0)=\frac{|\vec{v}(0)|^3}{|\vec{v}(0)\times\vec{a}(0)|} }

Así que, sustituyendo en dicha fórmula los valores iniciales de velocidad y aceleración:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(0)=v_0\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}+ \mathrm{sen}(\theta)\,\vec{k}\,]\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}(0)=-g\,\vec{k} }

se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\kappa}(0)=\frac{v_0^2}{g\,\mathrm{cos}(\theta)} }

Celeridad del proyectil al cortar el eje OX

Las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea establecen que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}}

En el caso que nos ocupa, conocemos los valores iniciales de la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(0)\,} y de la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(0)\,} del proyectil, y además conocemos su aceleración en todo instante, la cual tiene valor constante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t)=-g\,\vec{k}=\vec{a}\,\,\mathrm{(cte)} }

Determinar la velocidad y la posición del proyectil para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t>0\,} se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lllll} \mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\,\mathrm{d}t & \longrightarrow & \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\displaystyle\int_{0}^{\, t}\mathrm{d}t & \longrightarrow & \vec{v}(t)=\vec{v}(0)+\vec{a}\,t \\ \\ \mathrm{d}\vec{r}=[\vec{v}(0)+\vec{a}\,t\,]\,\mathrm{d}t & \longrightarrow & \displaystyle\int_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}=\vec{v}(0)\displaystyle\int_{0}^{\, t}\mathrm{d}t+\vec{a}\displaystyle\int_{0}^{\, t}\!t\,\mathrm{d}t & \longrightarrow & \vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\vec{v}(0)\,t+\displaystyle\frac{1}{2}\,\vec{a}\,t^2\end{array} }

Sustituyendo los valores dados de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(0)\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(0)\,} , obtenemos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t)=v_0\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}\,+\,\left[v_0\,\mathrm{sen}(\theta)-g\,t\,\right]\vec{k}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{r}(t)=v_0\,\mathrm{cos}(\theta)\,t\,\vec{\imath}\,+\left[h+v_0\,\mathrm{sen}(\theta)\,t-\displaystyle\frac{1}{2}\,g\,t^2\right]\vec{k} }

La trayectoria del proyectil cortará al eje OX en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t^*\,} en el que la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z\,} del proyectil se anule:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z(t^*)=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, h\,+\,v_0\,\mathrm{sen}(\theta)\,t^*\,-\,\displaystyle\frac{1}{2}\,g\,(t^*)^2=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, t^*=\displaystyle\frac{1}{g}\left[v_0\,\mathrm{sen}(\theta)+\sqrt{v_0^2\,\mathrm{sen}^2(\theta)+2\,gh}\,\right] }

donde el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t^*\,} corresponde a la solución positiva de la ecuación de segundo grado obtenida. La velocidad en dicho instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t^*\,} es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t^*)=v_0\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}\,+\,\left[v_0\,\mathrm{sen}(\theta)-g\,t^*\,\right]\vec{k}=v_0\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}\,-\,\sqrt{v_0^2\,\mathrm{sen}^2(\theta)+2\,gh}\,\,\vec{k} }

Y tomando el módulo de esta velocidad, hallamos la celeridad del proyectil en el instante de interés:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t^*)=|\vec{v}(t^*)|=\sqrt{v_0^2\,\mathrm{cos}^2(\theta)\,+\,v_0^2\,\mathrm{sen}^2(\theta)+2\,gh}=\sqrt{v_0^2+2\,gh} }