Ejemplo de movimiento helicoidal

Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(\theta)=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}}

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t) = \Omega_0 t + \beta t^2\,}

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} son constantes conocidas.

1. Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} y como función del tiempo.
2. Halle la rapidez del movimiento.
3. Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
4. Para el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
5. Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula y su aceleración normal.

Parámetro arco

Podemos determinar el parámetro arco empleando la variable Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} según la relación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|}

Derivando y calculando el módulo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=-A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+A\cos(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}}

El módulo de este vector vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}}

Puesto que el módulo es independiente de $\theta$, su integración es inmediata

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \theta }}={\sqrt {A^{2}+{\frac {b^{2}}{4\pi ^{2}}}}}$ ⇒  $s=\theta {\sqrt {A^{2}+{\frac {b^{2}}{4\pi ^{2}}}}}$

Y para obtener el parámetro arco en función del tiempo, basta sustituir en $s(\theta )$ la ley horaria $\theta (t)$ del enunciado

$s=(\Omega _{0}t+\beta t^{2}){\sqrt {A^{2}+{\frac {b^{2}}{4\pi ^{2}}}}}$

Celeridad

El cálculo de la rapidez es inmediato por derivación respecto al tiempo del parámetro arco

$v={\dot {s}}=\left(\Omega _{0}+2\beta t\right){\sqrt {A^{2}+{\frac {b^{2}}{4\pi ^{2}}}}}$

Aceleración tangencial

Obtenemos la componente tangencial de la aceleración derivando la celeridad respecto al tiempo

$a_{t}={\dot {v}}={\ddot {s}}=2\beta {\sqrt {A^{2}+{\frac {b^{2}}{4\pi ^{2}}}}}$

Puesto que esta aceleración tangencial es constante, el movimiento a lo largo de la hélice es uniformemente acelerado.

Velocidad y aceleración iniciales

Hallamos la ecuación horaria sustituyendo la ley horaria en la ecuación de la trayectoria

${\vec {r}}(t)=A\cos(\Omega _{0}t+\beta t^{2}){\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} (\Omega _{0}t+\beta t^{2}){\vec {\jmath }}+{\frac {b(\Omega _{0}t+\beta t^{2})}{2\pi }}{\vec {k}}$

Derivando en esta expresión respecto al tiempo

${\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=\left(\Omega _{0}+2\beta t\right)\left(-A\,\mathrm {sen} (\Omega _{0}t+\beta t^{2}){\vec {\imath }}+A\cos(\Omega _{0}t+\beta t^{2}){\vec {\jmath }}+{\frac {b}{2\pi }}{\vec {k}}\right)$

Haciendo $t=0$

${\vec {v}}(0)=\Omega _{0}\left(A{\vec {\jmath }}+{\frac {b}{2\pi }}{\vec {k}}\right)$

Obtenemos la aceleración derivando la velocidad respecto al tiempo

${\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=2\beta \left(-A\,\mathrm {sen} (\Omega _{0}t+\beta t^{2}){\vec {\imath }}+A\cos(\Omega _{0}t+\beta t^{2}){\vec {\jmath }}+{\frac {b}{2\pi }}{\vec {k}}\right)$ $+\left(\Omega _{0}+2\beta t\right)^{2}\left(-A\cos(\Omega _{0}t+\beta t^{2}){\vec {\imath }}-A\,\mathrm {sen} (\Omega _{0}t+\beta t^{2}){\vec {\jmath }}\right)$

Haciendo aquí $t=0$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(0)=-\Omega_0^2A\vec{\imath} + 2\beta A\vec{\jmath}+\frac{b\beta}{\pi}\vec{k}}

Triedro de Frenet

Para el instante inicial hallamos el vector tangente a la circunferencia normalizando la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}(0)=\frac{\vec{v}(0)}{v(0)}=\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)}

Si lo escribimos en función de la inclinación de la hélice, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} , definida en la teoría, queda:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}(0)=\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}}

siendo evidente a partir de la figura que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\alpha)=\frac{A}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}}   ;     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}(\alpha)=\frac{b/2\pi}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}} }

El vector binormal lo hallamos normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(0)\times\vec{a}(0)=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & \Omega_0A & \Omega_0b/2\pi \\-\Omega_0^2A &2\beta A & b\beta/\pi\end{matrix}\right|=A\Omega_0^3\left(-\frac{b}{2 \pi}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)}

Resulta el vector

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}(0) = \frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(-\frac{b}{2\pi}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)}

que es claramente ortogonal al vector tangente.

Escrito en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}(0)=-\mathrm{sen}(\alpha)\vec{\jmath}+\cos(\alpha)\vec{k}}

Multiplicando estos dos hallamos el vector normal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}(0)=\vec{B}(0)\times\vec{T}(0) = \frac{1}{A^2+b^2/4\pi^2}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\0 & -b\beta/\pi & A \\ 0 & A & b/2\pi \end{matrix}\right|=-\vec{\imath}}

que es ortogonal a los dos anteriores.

De aquí tenemos que la aceleración normal en el instante inicial es igual a

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y el radio de curvatura inicial vale

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Puede demostrarse que este radio de curvatura es constante a lo largo de todo el movimiento.

Método alternativo: Tras calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}(0)} , podríamos haber calculado el vector aceleración normal como:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_n(0) = \vec{a}(0)-a_t\vec{T}(0) = -A\Omega_0^2 \vec{\imath}}

Tomando módulo y normalizando, obtendríamos la aceleración normal y el vector normal principal, respectivamente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n(0)=|\vec{a}_n(0)| = A\Omega_0^2 \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{N}(0)=\frac{\vec{a}_n(0)}{a_n(0)} = -\vec{\imath}}

Y el vector binormal se obtendría entonces como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}(0)=\vec{T}(0)\times\vec{N}(0)}