Movimiento circular en torno a un eje oblicuo

Enunciado

Una partícula gira alrededor de un eje que pasa por el origen de coordenadas y está orientado según la dirección y el sentido del vector ${\vec {c}}={\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}$. La aceleración angular de este movimiento es constante y de módulo 1 rad/s². La velocidad angular inicial es nula. Si en $t=2\,\mathrm {s}$ la partícula se encuentra en ${\vec {r}}=(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+4{\vec {k}})\,\mathrm {m}$ calcule, para este instante

1. La velocidad y la aceleración.
2. Las componentes intrínsecas de la aceleración.

Velocidad y aceleración

Velocidad

La velocidad de una partícula que describe un movimiento circular en torno a un eje puede escribirse en la forma

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{e})$

siendo ${\vec {r}}_{e}$ un punto del eje de giro (no necesariamente el centro de la circunferencia). De acuerdo con el enunciado, podemos tomar este punto como el origen de coordenadas

${\vec {r}}_{e}={\vec {0}}$

La velocidad angular la hallamos sabiendo que la aceleración angular es constante (se trata de un movimiento uniformemente acelerado)

${\vec {\omega }}={\vec {\alpha }}\,t$

La aceleración angular (suponiendo que su sentido es el mismo que el del vector ${\vec {c}}$) es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}=\alpha\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \left(\frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}}

por lo que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=2\,\mathrm{s}} la velocidad angular vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\left(\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{4}{3}\vec{\jmath}+\frac{4}{3}\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}

Multiplicando vectorialmente por el vector de posición obtenemos la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\frac{1}{3}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 4 & 4 \\ -1 & 1 & 4\end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = \left(4\vec{\imath}-4\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

Aceleración

La aceleración en un movimiento circular se compone de un término asociado a la velocidad angular y otro a la aceleración angular.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\vec{\alpha}\times\vec{r}+\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\right)=\vec{\alpha}\times\vec{r}+\vec{\omega}\times\vec{v}}

Calculándolos por separado, tenemos, para el primer término

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}\times\vec{r}= \frac{1}{3}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 4\end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \left(2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+1\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

y para el segundo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\times\vec{v}= \frac{1}{3}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 4 & 4 \\ 4 & -4 & 2\end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \left(8\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-8\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

Sumando las dos contribuciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\left(2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+1\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} + \left(8\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-8\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \left(10\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-7\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

Componentes de la aceleración

La aceleración de la partícula se compone de dos sumandos. Uno es claramente perpendicular a la velocidad, mientras que el otro es paralelo a ella, por ser la velocidad y la aceleración angular vectores paralelos. Por tanto, tenemos

Aceleración tangencial

El vector aceleración tangencial corresponde al término

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t = \vec{\alpha}\times\vec{r}= \left(2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+1\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

siendo la componente tangencial de la aceleración

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t = \left|\vec{a}_t\right| = 3\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

NOTA: Calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t} como el módulo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t} sólo se puede hacer cuando se tiene certeza de que la aceleración tangencial es positiva (movimiento acelerado), lo cual ocurre en este caso dado que los vectores ${\vec {\alpha }}$ y ${\vec {\omega }}$ tienen el mismo sentido. En caso de duda sobre el signo de $a_{t}$, ésta tendrá que calcularse como el producto escalar de ${\vec {a}}$ (o bien ${\vec {a}}_{t}$) por el vector unitario tangente ${\vec {v}}/v$.

Aceleración normal

El vector aceleración normal lo da el término perpendicular a la velocidad

${\vec {a}}_{n}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}=\left(8{\vec {\imath }}+4{\vec {\jmath }}-8{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

siendo su módulo

$a_{n}=\left|{\vec {a}}_{n}\right|=12\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$