Rectilíneo con desaceleración creciente (Ex.Nov/11)

Enunciado

Una partícula está recorriendo el eje OX en sentido positivo con una celeridad constante de 25 m/s. En un instante dado (t=0) se detecta un obstáculo en su trayectoria a 50 m por delante de ella. A partir de dicho instante se le aplica a la partícula una desaceleración creciente en el tiempo según la fórmula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{a}(t)=-Kt\,\vec{\imath}\,\,} , donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K\,} es una constante de valor igual a 8.00 m/s³. ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse la partícula? ¿A qué distancia del obstáculo se detendrá?

Velocidad y posición

Se trata de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje OX. Por tanto, podemos escribir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=x\,\vec{\imath}\,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}=v_x\,\vec{\imath}=\dot{x}\,\vec{\imath}\,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=a_x\,\vec{\imath}=\dot{v}_x\,\vec{\imath}=\ddot{x}\,\vec{\imath}=-Kt\,\vec{\imath}\,\,\,\,\,\, (\mathrm{para}\,\, t>0)}

Considerando por simplicidad que el origen de coordenadas coincide con la posición de la partícula en el instante en que se detecta el obstáculo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (t=0)\,} , conocemos también las condiciones iniciales:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(0)=0\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_x(0)=\dot{x}(0)=25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}

Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t>0\,} se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}=-Kt\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}v_x=-Kt\,\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\int_{v_x(0)}^{v_x(t)}\!\mathrm{d}v_x=-K\!\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_x(t)=v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2 }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}x=\left[v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\right]\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\int_{x(0)}^{x(t)}\!\mathrm{d}x=\int_{0}^{t}\!\left[v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\right]\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,x(t)=x(0)+v_x(0)t-\frac{1}{6}Kt^3}

Tiempo que tarda en detenerse

La partícula se detendrá en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t^*\,} en el que se anule su velocidad, es decir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_x(t^{*})=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_x(0)-\frac{1}{2}K(t^*)^2=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,t^*=\sqrt{\frac{2v_x(0)}{K}}}

y sustituyendo los datos numéricos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t^*=\sqrt{\frac{2\cdot 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{8.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^3}}\,\mathrm{s}=2.50\,\mathrm{s}}

Distancia del obstáculo

Para determinar la distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (d)\,} del obstáculo a la que se detiene la partícula, simplemente hay que evaluar la posición (coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\,} ) de la partícula para el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t^*\,} , y después restársela a la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{obs}\,} en la que se encuentra el obstáculo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d=x_{obs}-x(t^*)=x_{obs}-\left[x(0)+v_x(0)t^*-\frac{1}{6}K(t^*)^3\right]=x_{obs}-x(0)-v_x(0)t^*+\frac{1}{6}K(t^*)^3}

y sustituyendo los datos numéricos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d=50\,\mathrm{m}-0\,\mathrm{m}-25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 2.50\,\mathrm{s}+\frac{1}{6}\cdot 8.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^3\cdot(2.50\,\mathrm{s})^3=8.33\,\mathrm{m}}