Movimiento de partícula sujeta de un hilo

Enunciado

Una barra rígida $AB$ de longitud $L$ se mueve en un plano vertical $OXY$, manteniendo su extremo $A$ articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas ${\overrightarrow {OA}}=L{\vec {\imath }}$, y verificando la ley horaria $\theta (t)=2\omega t$, con $0\leq \theta \leq \pi$ y siendo $\omega =$ cte. Un hilo inextensible de longitud $2L$ tiene uno de sus extremos conectado al origen del sistema de referencia (punto $O$), mientras que del otro cuelga una partícula $P$ que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo $B$ de la barra, de forma que el tramo ${\overline {BP}}$ permanece siempre paralelo al eje $OY$ (ver figura). Se pide:

1. Ecuaciones horarias del punto $P$, ${\overrightarrow {OP}}={\vec {r}}(t)=x(t){\vec {\imath }}+y(t){\vec {\jmath }}$.
2. Instante del tiempo $t_{M}$ en que la partícula alcanza su altura máxima.
3. Radio de curvatura de la trayectoria seguida por $P$, en el instante considerado en el apartado anterior.

Ecuaciones horarias

La posición del punto P puede escribirse como suma de tres vectores

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}$

donde

${\overrightarrow {OA}}=L{\vec {\imath }}$

y

${\overrightarrow {AB}}=L\cos(\theta ){\vec {\imath }}+L\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}$

El vector ${\overrightarrow {BP}}$ es vertical hacia abajo y con un módulo igual a

$|{\overrightarrow {BP}}|=2L-|{\overrightarrow {OB}}|$

siendo

$|{\overrightarrow {OB}}|=|{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}|={\sqrt {|{\overrightarrow {OA}}|^{2}+|{\overrightarrow {AB}}|^{2}+2{\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {AB}}}}={\sqrt {L^{2}+L^{2}+2L^{2}\cos(\theta )}}=2L\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)$

Por tanto

${\overrightarrow {BP}}=-2L\left(1-\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right){\vec {\jmath }}$

y el vector de posición buscado es

${\vec {r}}(\theta )={\overrightarrow {OP}}=L\left(1+\cos(\theta )\right){\vec {\imath }}+L\left(\mathrm {sen} (\theta )-2+2\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right){\vec {\jmath }}$

En función del tiempo quedan las ecuaciones horarias

${\vec {r}}(t)=L\left(1+\cos(2\omega t)\right){\vec {\imath }}+L\left(\mathrm {sen} (2\omega t)-2+2\cos \left(\omega t\right)\right){\vec {\jmath }}$

Instante de máxima altura

El instante de máxima altura se alcanza en el momento en que la componente vertical de la velocidad se anula.

La velocidad en cada instante es

${\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=2L\omega \left[-\mathrm {sen} (2\omega t){\vec {\imath }}+\left(\cos(2\omega t)-\mathrm {sen} (\omega t)\right){\vec {\jmath }}\,\right]$

La componente $y$ se anula cuando

$0=\cos(2\omega t)-\mathrm {sen} (\omega t)=\mathrm {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-2\omega t\right)-\mathrm {sen} (\omega t)$ ⇒ ${\frac {\pi }{2}}-2\omega t=\omega t$ ⇒ $t={\frac {\pi }{6\omega }}$

Esto es, la máxima altura se alcanza cuando la barra forma un ángulo de π/3 = 60° con la horizontal.

Radio de curvatura

Para el radio de curvatura necesitamos la aceleración en ese instante. Derivando de nuevo

${\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=-2L\omega ^{2}\left[2\cos(2\omega t){\vec {\imath }}+\left(2\,\mathrm {sen} (2\omega t)+\cos(\omega t)\right){\vec {\jmath }}\,\right]$

En el instante de máxima altura, la aceleración vale

${\vec {a}}(\pi /6\omega )=-2L\omega ^{2}\left(2{\frac {1}{2}}{\vec {\imath }}+\left(2{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\vec {\jmath }}\right)=-L\omega ^{2}\left(2{\vec {\imath }}+3{\sqrt {3}}{\vec {\jmath }}\right)$

La velocidad en ese mismo instante es

${\vec {v}}(\pi /6\omega )=-{\sqrt {3}}L\omega {\vec {\imath }}$

Puesto que la velocidad es puramente horizontal, la aceleración normal es la componente vertical

$a_{n}=3{\sqrt {3}}L\omega ^{2}$

Esto nos da el radio de curvatura

$R={\frac {v^{2}}{a_{n}}}={\frac {3L^{2}\omega ^{2}}{3L\omega ^{2}{\sqrt {3}}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}L$