No Boletín - Arista de un tetraedro (Ex.Oct/13)

Enunciado

El triángulo definido por los vectores ${\overrightarrow {OA}}=(-{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \,$ y ${\overrightarrow {OB}}=2\,{\vec {k}}\,\,\mathrm {m} \,$ constituye la base de un tetraedro. Sabiendo que la altura de dicho tetraedro es $3{\sqrt {2}}\,\mathrm {m} \,$ y que $C\,$ es el vértice opuesto a su base, ¿cuál de los siguientes vectores puede definir la arista $OC\,$ del tetraedro descrito?

(1) ${\overrightarrow {OC}}=({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \,$

(2) ${\overrightarrow {OC}}=({\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \,$

(3) ${\overrightarrow {OC}}=({\sqrt {2}}\,{\vec {\jmath }}+3{\sqrt {2}}\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \,$

(4) ${\overrightarrow {OC}}=(-2\,{\vec {\imath }}+4\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \,$

Solución

Se calcula un vector ${\vec {N}}\,$ normal a la base del tetraedro, y dividiéndolo por su módulo (normalización) se obtiene un vector unitario ${\vec {u}}_{N}\,$ en su misma dirección:

${\vec {N}}={\overrightarrow {OA}}\,\times \,{\overrightarrow {OB}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-1&-1&-1\\0&0&2\end{array}}\right|=-2\,{\vec {\imath }}\,+\,2\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {u}}_{N}={\frac {\vec {N}}{|{\vec {N}}|}}={\frac {-2\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}}{2{\sqrt {2}}}}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}\,\,+\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}\,$

A continuación, se observa por inspección geométrica que la altura del tetraedro coincide con el valor absoluto de la proyección del vector-arista ${\overrightarrow {OC}}\,$ sobre la dirección normal a la base. Así que dicha altura $h\,$ se puede calcular como el valor absoluto del producto escalar del vector ${\overrightarrow {OC}}\,$ por el vector unitario ${\vec {u}}_{N}\,$:

$h=\left|\mathrm {proy} _{\parallel {\vec {N}}}\left[{\overrightarrow {OC}}\right]\right|=\left|{\overrightarrow {OC}}\cdot {\vec {u}}_{N}\right|=\left|-{\frac {OC_{x}}{\sqrt {2}}}\,+\,{\frac {OC_{y}}{\sqrt {2}}}\right|$

donde hemos denominado $OC_{x}\,$ y $OC_{y}\,$ a la componente-x y a la componente-y, respectivamente, del vector ${\overrightarrow {OC}}\,$.

Como la altura del tetraedro es conocida ($h=3{\sqrt {2}}\,\,\mathrm {m} \,$), sólo queda comprobar cuál de los cuatro vectores ${\overrightarrow {OC}}\,$ propuestos en el enunciado satisface la siguiente condición:

$\left|-{\frac {OC_{x}}{\sqrt {2}}}\,+\,{\frac {OC_{y}}{\sqrt {2}}}\right|=3{\sqrt {2}}\,\,\mathrm {m}$

Es inmediato verificar que el vector ${\overrightarrow {OC}}\,$ propuesto en la opción 4 es el correcto (los de las opciones 1, 2 y 3 implican una altura del tetraedro igual a $0\,\,\mathrm {m} \,$, $\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\,\mathrm {m} \,$ y $1\,\,\mathrm {m} \,$, respectivamente).

Solución alternativa

Podemos simplificar un poco el cálculo sin usar tantas raíces cuadradas observando que puesto que

${\vec {u}}_{N}={\frac {{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}}{\left|{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}\right|}}$

la ecuación que define la altura es

$h={\frac {\left|({\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}})\cdot {\overrightarrow {OC}}\right|}{\left|{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}\right|}}$

o, equivalentemente

$\left|({\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}})\cdot {\overrightarrow {OC}}\right|=h\left|{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}\right|$

El primer miembro es el valor absoluto de un producto mixto, que se podrá escribir como el valor absoluto de un determinante

$\left|({\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}})\cdot {\overrightarrow {OC}}\right|=\left|\left|{\begin{matrix}-1&-1&-1\\0&0&2\\OC_{x}&OC_{y}&OC_{z}\end{matrix}}\right|\right|=|2(OC_{y}-OC_{x})|\,\mathrm {m} ^{2}$

mientras que el segundo miembro vale

$h\left|{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}\right|=\left(3{\sqrt {2}}\,\mathrm {m} \right)\left(2{\sqrt {2}}\,\mathrm {m} ^{2}\right)=12\,\mathrm {m} ^{3}$

por lo que nuestra ecuación se reduce a

$|OC_{y}-OC_{x}|=6\,\mathrm {m}$

Es decir, debemos buscar aquella solución cuyas dos primeras componentes se diferencien en 6 metros. Es claro que la opción 4 es la única que cumple esta condición.