No Boletín - Arista de un tetraedro (Ex.Oct/13)

Enunciado

El triángulo definido por los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\, \mathrm{m}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}=2\,\vec{k}\,\,\mathrm{m}\,} constituye la base de un tetraedro. Sabiendo que la altura de dicho tetraedro es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3\sqrt{2}\,\mathrm{m}\,} y que $C\,$ es el vértice opuesto a su base, ¿cuál de los siguientes vectores puede definir la arista $OC\,$ del tetraedro descrito?

(1) ${\overrightarrow {OC}}=({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \,$

(2) ${\overrightarrow {OC}}=({\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \,$

(3) ${\overrightarrow {OC}}=({\sqrt {2}}\,{\vec {\jmath }}+3{\sqrt {2}}\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \,$

(4) ${\overrightarrow {OC}}=(-2\,{\vec {\imath }}+4\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \,$

Solución

Se calcula un vector ${\vec {N}}\,$ normal a la base del tetraedro, y dividiéndolo por su módulo (normalización) se obtiene un vector unitario ${\vec {u}}_{N}\,$ en su misma dirección:

${\vec {N}}={\overrightarrow {OA}}\,\times \,{\overrightarrow {OB}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-1&-1&-1\\0&0&2\end{array}}\right|=-2\,{\vec {\imath }}\,+\,2\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\,\,\longrightarrow$ $\longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {u}}_{N}={\frac {\vec {N}}{|{\vec {N}}|}}={\frac {-2\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}}{2{\sqrt {2}}}}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}\,\,+\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}\,$

A continuación, se observa por inspección geométrica que la altura del tetraedro coincide con el valor absoluto de la proyección del vector-arista ${\overrightarrow {OC}}\,$ sobre la dirección normal a la base. Así que dicha altura $h\,$ se puede calcular como el valor absoluto del producto escalar del vector ${\overrightarrow {OC}}\,$ por el vector unitario ${\vec {u}}_{N}\,$:

$h=\left|\mathrm {proy} _{\parallel {\vec {N}}}\left[{\overrightarrow {OC}}\right]\right|=\left|{\overrightarrow {OC}}\cdot {\vec {u}}_{N}\right|=\left|-{\frac {OC_{x}}{\sqrt {2}}}\,+\,{\frac {OC_{y}}{\sqrt {2}}}\right|$

donde hemos denominado $OC_{x}\,$ y $OC_{y}\,$ a la componente-x y a la componente-y, respectivamente, del vector ${\overrightarrow {OC}}\,$.

Como la altura del tetraedro es conocida ($h=3{\sqrt {2}}\,\,\mathrm {m} \,$), sólo queda comprobar cuál de los cuatro vectores ${\overrightarrow {OC}}\,$ propuestos en el enunciado satisface la siguiente condición:

$\left|-{\frac {OC_{x}}{\sqrt {2}}}\,+\,{\frac {OC_{y}}{\sqrt {2}}}\right|=3{\sqrt {2}}\,\,\mathrm {m}$

Es inmediato verificar que el vector ${\overrightarrow {OC}}\,$ propuesto en la opción 4 es el correcto (los de las opciones 1, 2 y 3 implican una altura del tetraedro igual a $0\,\,\mathrm {m} \,$, $\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\,\mathrm {m} \,$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\,\,\mathrm{m}\,} , respectivamente).

Solución alternativa

Podemos simplificar un poco el cálculo sin usar tantas raíces cuadradas observando que puesto que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_N=\frac{\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|}}

la ecuación que define la altura es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h = \frac{\left|(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}\right|}{\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|}}

o, equivalentemente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}\right| = h \left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|}

El primer miembro es el valor absoluto de un producto mixto, que se podrá escribir como el valor absoluto de un determinante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}\right|=\left|\left|\begin{matrix} -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \\ OC_x & OC_y & OC_z\end{matrix}\right|\right|=|2(OC_y-OC_x)|\,\mathrm{m}^2}

mientras que el segundo miembro vale

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por lo que nuestra ecuación se reduce a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |OC_y-OC_x| = 6\,\mathrm{m}}

Es decir, debemos buscar aquella solución cuyas dos primeras componentes se diferencien en 6 metros. Es claro que la opción 4 es la única que cumple esta condición.