Barra oscilando respecto a uno de sus extremos (GIC)

Enunciado

Una barra homogénea de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} y masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} cuelga por uno de sus extremos de modo que se encuentra en equilibio en posición vertical. Analiza el movimiento de la barra si se separa de la vertical un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta_0} pequeño.

Solución

La figura muestra la barra colgando del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } . En un péndulo ideal se puede considerar que la masa está concentrada en un extremo, pero aquí eso no es posible. Hay que tratar toda la barra como un sólido rígido. Este tipo de sistema se llaman péndulos físicos o compuestos.

La barra realiza un movimiento de rotación respecto al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ } . Para describir este movimiento vamos a usar un vector rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega} = \omega\,vec{k} } y el momento angular de la barra respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}^O } . Como el eje de rotación es fijo, estas dos magnitudes están relacionadas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}^O = I\vec{\omega} }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I } es el momento de inercia de la barra respecto al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ } .

La ecuación de movimiento se obtiene de aplicar la "Segunda Ley de Newton para la rotación"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\vec{L}^O}{\mathrm{d}t} = \vec{M}^O }

siendo ${\vec {M}}^{O}$ el momento neto de las fuerzas que actúan sobre la barra. En este caso esas fuerzas son el peso, aplicado en el centro de masas de la barra, $G$, y la fuerza de reacción vincular en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } , que sujeta a la barra. El momento de esta fuerza de reacción vincular respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } . La única fuerza que ejerce momento es el peso

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}^O = \overrightarrow{OG}\times(m\vec{g}) = \left(d\cos\theta\,\vec{\imath} + d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}\right)\times (-mg\vec{\imath}) = -mgd\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k} }

El valor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d} es la distancia del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} al centro de masas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} . En este caso es la mitad de la longitud de la barra, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d=R/2} , por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}^O = -\dfrac{1}{2}mgR\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k} }

Por otro lado, la derivada temporal del momento cinético es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\vec{L}^O}{\mathrm{d}t} = I\dot{\vec{\omega}} = I\ddot{\theta}\,\vec{k} }

Igualando las dos expresiones obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta} = -\dfrac{mgR}{2I}\,\mathrm{sen}\,\theta }

Esta es la ecuación diferencial para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t) } . No sabemos resolver esta ecuación, pero si el ángulo de oscilación es pequeño podemos hacer la aproximación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\,\theta\approx\theta } , y la ecuación queda

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Esta es la ecuación de un oscilador armónico con frecuencia angular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \sqrt{\dfrac{mgR}{2I}} }

Es decir, si el ángulo con la vertical es pequeño, la barra oscila con un período

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El momento de inercia de una barra respecto de un eje perpendicular a ella que pasa por su extremo es

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con lo que el período de oscilación es

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Hay que destacar que, hasta que hemos sustituido el momento de inercia concreto para la barra, el tratamiento es válido para un cuerpo de forma general, por ejemplo el de la figura de la derecha. Lo único que hay que cambiar es dejar el resultado en función de la distancia entre el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y el centro de masas del cuerpo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d} . Así pues, si el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta } es pequeño, este cuerpo realizará oscilaciones periódicas con período

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En particular podemos recuperar el resultado para un péndulo ideal de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d } . En este caso la masa está concentrada en el extremo de la cuerda, por lo que el momento de inercia es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I=md^2 } . Sustituyendo en la expresión del período recuperamos el período de un péndulo ideal.