Superposición de dos y tres señales

Enunciado

Considere los casos de superposición siguientes

1. $y_{1}=A\cos(\omega t-kx)\qquad y_{2}=A\,\mathrm {sen} \,(\omega t-kx)$
2. $y_{1}=A\cos(\omega t-kx)\qquad y_{2}=A\,\mathrm {sen} \,(\omega t+kx)$
3. $y_{1}=A\cos(\omega t-kx)\qquad y_{2}=-2A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,\mathrm {sen} \,(kx)$
4. $y_{1}=4A\cos(\omega t-kx)\qquad y_{2}=3A\,\mathrm {sen} \,(\omega t-kx)\qquad y_{3}=5A\cos(\omega t+kx)$

Para cada uno de los casos, determine la ecuación de la señal resultante, ¿es una onda viajera o una estacionaria?

Solución

Primer caso

Debemos sumar las señales

$y_{1}=A\cos(\omega t-kx)\,$    $y_{2}=A\,\mathrm {sen} \,(\omega t-kx)$

Ambas representan señales viajando hacia la izquierda, con la misma frecuencia, por lo que su suma será otra onda viajera, cuya amplitud dependerá del desfase.

Para sumarlas de forma sencilla las escribimos ambas como cosenos. Aplicando la relación trigonométrica

$\mathrm {sen} \left(\alpha \right)=\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)$

las señales quedan como

$y_{1}=A\cos(\omega t-kx)\,$    $y_{2}=A\cos \left(\omega t-kx-{\frac {\pi }{2}}\right)$

Aplicando ahora la relación que transforma sumas en productos

$\cos(\alpha )+\cos(\beta )=2\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)$

la superposición es

$y=y_{1}+y_{2}=2A\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\cos \left(\omega t-kx-{\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}A\cos \left(\omega t-kx-{\frac {\pi }{4}}\right)$

Archivo:Seno+coseno.gif

Resulta una onda viajera, de amplitud ${\sqrt {2}}A$ (aproximadamente vez y media de la amplitud de cada onda), y con un desfase inicial de π/4.

Segundo caso

En el segundo caso

$y_{1}=A\cos(\omega t-kx)\,$    $y_{2}=A\,\mathrm {sen} \,(\omega t+kx)$

se trata de sumar dos ondas de la misma amplitud pero que se propagan en direcciones diferentes. Por ello, su suma va a consistir en una onda estacionaria.

Como en el apartado anterior, escribimos el seno como un coseno

$y_{2}=A\,\mathrm {sen} \,(\omega t+kx)=A\cos \left(\omega t+kx-{\frac {\pi }{2}}\right)$

y la transformación de sumas en productos, lo que nos da

$y=y_{1}+y_{2}=A\cos(\omega t-kx)+A\cos \left(\omega t+kx-{\frac {\pi }{2}}\right)=2A\cos \left(kx-{\frac {\pi }{4}}\right)\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{4}}\right)$

Archivo:Seno+coseno-2.gif

Esta es la ecuación de una onda estacionaria, con amplitud dependiente de la posición

$A(x)=2A\cos \left(kx-{\frac {\pi }{4}}\right)$

que alcanza el valor máximo de 2. Vemos que el efecto de introducir una fase simplemente traslada la posición de los nodos y el desfase de la oscilación de cada punto, pero produce el mismo efecto de onda estacionaria.

Tercer caso

En el tercer caso tenemos las señales

$y_{1}=A\cos(\omega t-kx)\,$    $y_{2}=-2A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,\mathrm {sen} \,(kx)$

Estas señales son respectivamente una onda viajera hacia la derecha y una onda estacionaria, por lo que no es evidente qué va a resultar de superposición.

Podemos hallarlo desarrollando el coseno de la onda viajera

$y_{1}=A\cos(\omega t-kx)=A\cos(\omega t)\cos(kx)+A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,\mathrm {sen} \,(kx)$

que puede interpretarse como que una onda viajera es suma de dos estacionarias (del mismo modo que una estacionaria es suma de dos viajeras). Si ahora sumamos esta forma con la segunda señal

$y=y_{1}+y_{2}=A\cos(\omega t)\cos(kx)+A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,\mathrm {sen} \,(kx)-2A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,\mathrm {sen} \,(kx)=A\cos(\omega t)\cos(kx)-A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,\mathrm {sen} \,(kx)$

y este resultado puede volverse a combinar en una onda viajera

$y=A\cos(\omega t)\cos(kx)-A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,\mathrm {sen} \,(kx)=A\cos(\omega t+kx)$

Nos ha resultado, por tanto, que la superposición es una onda viajera hacia la izquierda, y de la misma amplitud que la onda viajera original.

No hay que pensar que este resultado es general y que la suma de una onda viajera y una estacionaria es siempre una única onda viajera. En general resultarán dos ondas viajeras, de distinta amplitud, una en cada sentido (o, equivalentemente, una onda viajera más una estacionaria, o dos estacionarias).

Cuarto caso

Por último tenemos la composición de tres señales

$y_{1}=4A\cos(\omega t-kx)\,$    $y_{2}=3A\,\mathrm {sen} \,(\omega t-kx)\,$    $y_{3}=5A\cos(\omega t+kx)\,$

Dos de estas señales (las que llevan el signo negativo) son ondas viajeras hacia la derecha, mientras que la tercera viaja hacia la izquierda.

Sumamos en primer lugar las dos viajeras hacia la derecha, que nos producirán una onda viajera en el mismo sentido.

$y_{1}+y_{2}=A'\cos(\omega t-kx+\phi ')\,$

se trata de hallar la amplitud $A'$ y el desfase inicial $\phi \,$. En lugar de emplear relaciones trigonométricas lo haremos a partir de las condiciones iniciales. El estado de oscilación en $x=0$ será

$\left.(y_{1}+y_{2})\right|_{x=0}=A'\cos(\omega t+\phi ')=\left.y_{1}\right|_{x=0}+\left.y_{2}\right|_{x=0}=4A\cos(\omega t)+3A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Igualando ahora la posición y la velocidad inicial de este movimiento oscilatorio

$A'\cos(\phi ')=4A\cdot 1+3A\cdot 0=4A\,$    $-A'\omega \,\mathrm {sen} \,(\phi ')=-4A\omega \cdot 0+3A\omega \cdot 1=3A\omega$

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

$A'\cos(\phi ')=4A\,$    $A'\,\mathrm {sen} \,(\phi ')=-3A$

obtenemos

$A'=5A\,$    $\phi '=-\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {3}{4}}\right)$

Por tanto, la suma de las dos primeras señales es la onda viajera

$y_{1}+y_{2}=5A\cos \left(\omega t-kx-\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {3}{4}}\right)\right)$

Puesto que tiene la misma amplitud que la onda viajera hacia la izquierda, el resultado será una onda estacionaria

$y_{1}+y_{2}+y_{3}=5A\cos \left(\omega t-kx-\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {3}{4}}\right)\right)+5A\cos \left(\omega t+kx\right)=$

Aplicando de nuevo las transformaciones de sumas en productos

$y_{1}+y_{2}+y_{3}=10A\cos \left(kx+{\frac {1}{2}}\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {3}{4}}\right)\right)\cos \left(\omega t-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {3}{4}}\right)\right)$

Podemos simplificar un poco esta expresión observando que

${\frac {1}{2}}\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {3}{4}}\right)=\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {1}{3}}\right)$

por lo que nos queda finalmente la onda estacionaria

$y_{1}+y_{2}+y_{3}=10A\cos \left(kx+\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {1}{3}}\right)\right)\cos \left(\omega t-\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {1}{3}}\right)\right)$