Percusión sobre una barra articulada con muelle (MR-GIC)
Enunciado
El mecanismo de la figura está formado por una varilla delgada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} (sólido "2"), de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} , y un resorte ideal de constante recuperadora Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} y longitud natural nula. El extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} de la varilla está unido mediante una rótula ideal al origen de un sistema de referencia fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1Z_1} (sólido "1"). El otro extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la varilla está conectado mediante el resorte a un pasador Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} de masa despreciable que puede deslizar libremente y sin rozamiento por el eje vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1} . En todo momento la orientación del eje del resorte es perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1} . Todos los vínculos son lisos. En el instante inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} , el sistema se halla en reposo en la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(0)=\pi/4} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi(0)=0} . Recibe entonces una percusión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\hat{F}}=[\hat{F}_x,\, \hat{F}_y,\,0]_1} en el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Justo después de la percusión tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}(0^+)=3\Omega/\sqrt{2}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}(0^+)=3\sqrt{2}\Omega} , donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega} es una constante conocida. Calcula el valor de la percusión.
Solución
Cinemática y función de Lagrange
Este sistema es similar al que se estudio en barra rotando con muelle horizontal, en el caso de las dos coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\theta, \phi \} } . Recuperamos de ese problema las expresiones de la reducción cinemática
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0, \qquad \vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{0}.}
y la función de Lagrange para el caso de las dos coordenadas libres
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = T - (U_g + U_m) = \dfrac{1}{2}I\,(\dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}^2\theta + \dot{\theta}^2) - \dfrac{1}{2}mgL\cos\theta - \dfrac{1}{2}kL^2\,\mathrm{sen}^2\theta. }
Recordemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = mL^2/3 } .
Percusión
Como hay dos coordenadas independientes, tenemos dos ecuaciones percusivas analíticas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \Delta p_{\theta} = \hat{Q}^{\,NC}_{\theta}, \\ \Delta p_{\phi} = \hat{Q}^{\,NC}_{\phi}. \end{array} }
Los momentos generalizados son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} p_{\theta} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = I\dot{\theta}, \\ p_{\phi} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = I\dot{\phi}\,\mathrm{sen}^2\theta. \end{array} }
Las percusiones generalizadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{Q}^{\,NC}_{\theta}, \hat{Q}^{\,NC}_{\phi} } provienen de la acción de la percusión activa
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\hat{F}} = \hat{F}_x\,\vec{\imath}_1 + \hat{F}_y\,\vec{\jmath}_1. }
Esta percusión está expresada en los vectores del sólido "1". Hay que tener cuidado en que base se proyectan los vectores. En este problema, la percusión ocurre en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0 } . En este instante, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi(0)=0 } , por lo que los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1Z_1 } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Y_0Z_0 } coinciden. Sin embargo, a la hora de calcular velocidades y aceleraciones, es mejor usar la base que sea válida durante todo el tiempo. En este caso, es la base del sólido "0".
En la formulación analítica las percusiones vinculares no aparecen. El peso y el muelle no intervienen porque no son fuerzas percusivas, es decir, su valor está acotado.
Necesitamos calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21} }
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{v}^{\,A}_{21} & = \vec{v}^{\,O}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA} = L\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath}_0 + L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_0 -L\dot{\theta}\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}_0. \\ & \overrightarrow{OA} = L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_0 + L\cos\theta\,\vec{\jmath}_0. \end{array} }
Sus derivadas son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \dfrac{\partial \vec{v}^{\,A}_{21}}{\partial \dot{\theta}} = L\cos\theta\,\vec{\imath}_0 - L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}_0, \\ \dfrac{\partial \vec{v}^{\,A}_{21}}{\partial \dot{\phi}} = L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_0. \end{array} }
Las percusiones son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \hat{Q}^{\,NC}_{\theta} = \left.\vec{\hat{F}}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,A}_{21}}{\partial \dot{\theta}}\right|_{\theta=\pi/4, \phi=0} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}L\hat{F}_x, \\ \hat{Q}^{\,NC}_{\phi} = \left.\vec{\hat{F}}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,A}_{21}}{\partial \dot{\phi}}\right|_{\theta=\pi/4, \phi=0} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}L\hat{F}_y. \end{array} }
Recordemos que durante la percusión el valor de las coordenadas no cambia.
Como se ha comentado mas arriba, durante la percusión los ejes de los sólidos "0" y "1" coinciden. Entonces podemos escribir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\hat{F}} = \hat{F}_x\,\vec{\imath}_0 + \hat{F}_y\,\vec{\jmath}_0. }
Aplicando las ecuaciones percusivas analíticas tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \Delta p_{\theta} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}L\hat{F}_x, \\ \Delta p_{\phi} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}L\hat{F}_y \end{array} }
El problema dice que antes de la percusión el sólido estaba en reposo. Por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_{\theta}(0^-) = 0, \qquad p_{\phi}(0^-) = 0. }
Después de la percusión tenemos
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Recordemos que durante la percusión el valor de las coordenadas no cambia.
En este problema los datos son el estado antes y después de la percusión, y las incógnitas son las componentes de la percusión. Es decir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \hat{F}_x = \dfrac{\sqrt{2}}{L} \Delta p_{\theta} = \dfrac{\sqrt{2}}{L}\,(p_{\theta}(0^+) - p_{\theta}(0^-)) = \dfrac{3I\Omega}{L} = mL\Omega, \\ \hat{F}_y = \dfrac{\sqrt{2}}{L} \Delta p_{\phi} = \dfrac{\sqrt{2}}{L}\,(p_{\phi}(0^+) - p_{\phi}(0^-)) = \dfrac{3I\Omega}{L} = mL\Omega. \end{array} }
