Percusión sobre una barra articulada con muelle (MR-GIC)

Enunciado

El mecanismo de la figura está formado por una varilla delgada $OA$ (sólido "2"), de masa $m$ y longitud $L$, y un resorte ideal de constante recuperadora $k$ y longitud natural nula. El extremo $O$ de la varilla está unido mediante una rótula ideal al origen de un sistema de referencia fijo $OX_{1}Y_{1}Z_{1}$ (sólido "1"). El otro extremo $A$ de la varilla está conectado mediante el resorte a un pasador $C$ de masa despreciable que puede deslizar libremente y sin rozamiento por el eje vertical $OZ_{1}$. En todo momento la orientación del eje del resorte es perpendicular a $OZ_{1}$. Todos los vínculos son lisos. En el instante inicial $t=0$, el sistema se halla en reposo en la posición $\theta (0)=\pi /4$, $\phi (0)=0$. Recibe entonces una percusión ${\vec {\hat {F}}}=[{\hat {F}}_{x},\,{\hat {F}}_{y},\,0]_{1}$ en el extremo $A$. Justo después de la percusión tenemos ${\dot {\theta }}(0^{+})=3\Omega /{\sqrt {2}}$, ${\dot {\phi }}(0^{+})=3{\sqrt {2}}\Omega$, donde $\Omega$ es una constante conocida. Calcula el valor de la percusión.

Cinemática y función de Lagrange

Este sistema es similar al que se estudio en barra rotando con muelle horizontal, en el caso de las dos coordenadas $\{\theta ,\phi \}$. Recuperamos de ese problema las expresiones de la reducción cinemática

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{0}+{\dot {\phi }}\,{\vec {k}}_{0},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {0}}.$

y la función de Lagrange para el caso de las dos coordenadas libres

$L=T-(U_{g}+U_{m})={\dfrac {1}{2}}I\,({\dot {\phi }}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta +{\dot {\theta }}^{2})-{\dfrac {1}{2}}mgL\cos \theta -{\dfrac {1}{2}}kL^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta .$

Recordemos que $I=mL^{2}/3$.

Percusión

Como hay dos coordenadas independientes, tenemos dos ecuaciones percusivas analíticas

${\begin{array}{l}\Delta p_{\theta }={\hat {Q}}_{\theta }^{\,NC},\\\Delta p_{\phi }={\hat {Q}}_{\phi }^{\,NC}.\end{array}}$

Los momentos generalizados son

${\begin{array}{l}p_{\theta }={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=I{\dot {\theta }},\\p_{\phi }={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=I{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta .\end{array}}$

Las percusiones generalizadas ${\hat {Q}}_{\theta }^{\,NC},{\hat {Q}}_{\phi }^{\,NC}$ provienen de la acción de la percusión activa

${\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{x}\,{\vec {\imath }}_{1}+{\hat {F}}_{y}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Esta percusión está expresada en los vectores del sólido "1". Hay que tener cuidado en que base se proyectan los vectores. En este problema, la percusión ocurre en el instante $t=0$. En este instante, $\phi (0)=0$, por lo que los ejes $OX_{1}Y_{1}Z_{1}$ y $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$ coinciden. Sin embargo, a la hora de calcular velocidades y aceleraciones, es mejor usar la base que sea válida durante todo el tiempo. En este caso, es la base del sólido "0".

En la formulación analítica las percusiones vinculares no aparecen. El peso y el muelle no intervienen porque no son fuerzas percusivas, es decir, su valor está acotado.

Necesitamos calcular ${\vec {v}}_{21}^{\,A}$

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,A}&={\vec {v}}_{21}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OA}}=L{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{0}+L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{0}-L{\dot {\theta }}\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}_{0}.\\&{\overrightarrow {OA}}=L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{0}+L\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{0}.\end{array}}$

Sus derivadas son

${\begin{array}{l}{\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,A}}{\partial {\dot {\theta }}}}=L\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{0}-L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}_{0},\\{\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,A}}{\partial {\dot {\phi }}}}=L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{0}.\end{array}}$

Las percusiones son

${\begin{array}{l}{\hat {Q}}_{\theta }^{\,NC}=\left.{\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,A}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right|_{\theta =\pi /4,\phi =0}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}L{\hat {F}}_{x},\\{\hat {Q}}_{\phi }^{\,NC}=\left.{\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,A}}{\partial {\dot {\phi }}}}\right|_{\theta =\pi /4,\phi =0}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}L{\hat {F}}_{y}.\end{array}}$

Recordemos que durante la percusión el valor de las coordenadas no cambia.

Como se ha comentado mas arriba, durante la percusión los ejes de los sólidos "0" y "1" coinciden. Entonces podemos escribir

${\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{x}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\hat {F}}_{y}\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

Aplicando las ecuaciones percusivas analíticas tenemos

${\begin{array}{l}\Delta p_{\theta }={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}L{\hat {F}}_{x},\\\Delta p_{\phi }={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}L{\hat {F}}_{y}\end{array}}$

El problema dice que antes de la percusión el sólido estaba en reposo. Por tanto

$p_{\theta }(0^{-})=0,\qquad p_{\phi }(0^{-})=0.$

Después de la percusión tenemos

${\begin{array}{l}p_{\theta }(0^{+})=I{\dot {\theta }}(0^{+})={\dfrac {3}{\sqrt {2}}}I\Omega ,\\p_{\phi }(0^{+})=I{\dot {\phi }}(0^{+})\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta (0))=3I\Omega .\end{array}}$

Recordemos que durante la percusión el valor de las coordenadas no cambia.

En este problema los datos son el estado antes y después de la percusión, y las incógnitas son las componentes de la percusión. Es decir

${\begin{array}{l}{\hat {F}}_{x}={\dfrac {\sqrt {2}}{L}}\Delta p_{\theta }={\dfrac {\sqrt {2}}{L}}\,(p_{\theta }(0^{+})-p_{\theta }(0^{-}))={\dfrac {3I\Omega }{L}}=mL\Omega ,\\{\hat {F}}_{y}={\dfrac {\sqrt {2}}{L}}\Delta p_{\phi }={\dfrac {\sqrt {2}}{L}}\,(p_{\phi }(0^{+})-p_{\phi }(0^{-}))={\dfrac {3I\Omega }{L}}=mL\Omega .\end{array}}$