Percusión sobre una barra articulada con muelle (MR-GIC)

Enunciado

El mecanismo de la figura está formado por una varilla delgada $OA$ (sólido "2"), de masa $m$ y longitud $L$, y un resorte ideal de constante recuperadora $k$ y longitud natural nula. El extremo $O$ de la varilla está unido mediante una rótula ideal al origen de un sistema de referencia fijo $OX_{1}Y_{1}Z_{1}$ (sólido "1"). El otro extremo $A$ de la varilla está conectado mediante el resorte a un pasador $C$ de masa despreciable que puede deslizar libremente y sin rozamiento por el eje vertical $OZ_{1}$. En todo momento la orientación del eje del resorte es perpendicular a $OZ_{1}$. Todos los vínculos son lisos. En el instante inicial $t=0$, el sistema se halla en reposo en la posición $\theta (0)=\pi /4$, $\phi (0)=0$. Recibe entonces una percusión ${\vec {\hat {F}}}=[{\hat {F}}_{x},\,{\hat {F}}_{y},\,0]_{1}$ en el extremo $A$. Justo después de la percusión tenemos ${\dot {\theta }}(0^{+})=3\Omega /{\sqrt {2}}$, ${\dot {\phi }}(0^{+})=3{\sqrt {2}}\Omega$, donde $\Omega$ es una constante conocida. Calcula el valor de la percusión.

Cinemática y función de Lagrange

Este sistema es similar al que se estudio en barra rotando con muelle horizontal, en el caso de las dos coordenadas $\{\theta ,\phi \}$. Recuperamos de ese problema las expresiones de la reducción cinemática

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{0}+{\dot {\phi }}\,{\vec {k}}_{0},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {0}}.$

y la función de Lagrange para el caso de las dos coordenadas libres

$L=T-(U_{g}+U_{m})={\dfrac {1}{2}}I\,({\dot {\phi }}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta +{\dot {\theta }}^{2})-{\dfrac {1}{2}}mgL\cos \theta -{\dfrac {1}{2}}kL^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta .$

Recordemos que $I=mL^{2}/3$.

Percusión

Como hay dos coordenadas independientes, tenemos dos ecuaciones percusivas analíticas

${\begin{array}{l}\Delta p_{\theta }={\hat {Q}}_{\theta }^{\,NC},\\\Delta p_{\phi }={\hat {Q}}_{\phi }^{\,NC}.\end{array}}$

Los momentos generalizados son

${\begin{array}{l}p_{\theta }={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=I{\dot {\theta }},\\p_{\phi }={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=I{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta .\end{array}}$

Las percusiones generalizadas ${\hat {Q}}_{\theta }^{\,NC},{\hat {Q}}_{\phi }^{\,NC}$ provienen de la acción de la percusión activa

${\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{x}\,{\vec {\imath }}_{1}+{\hat {F}}_{y}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

En la formulación analítica las percusiones vinculares no aparecen. El peso y el muelle no intervienen porque no son fuerzas percusivas, es decir, su valor está acotado. Estas percusiones son

${\begin{array}{l}{\hat {Q}}_{\theta }^{\,NC}={\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,A}}{\partial {\dot {\theta }}}}\end{array}}$