Propiedades de un sistema de partículas

Definición de sistema de partículas

En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N} puntos materiales que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas.

Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_i} , siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i=1,\ldots,N} un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} está caracterizada por una posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_i} y una velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_i} . Esta posición y esta velocidad evolucionan de acurdo con las leyes de la dinámica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t}=\mathbf{v}_i}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_i \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_i}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_i}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i=1,\ldots,N}

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_i} la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} . Esta resultante se compone de las fuerzas que cada una de las demás partículas del sistema ejerce sobre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} , más la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre ella

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_i = \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}+ \mathbf{F}_{1\to i}+\mathbf{F}_{2\to i} + \cdots = \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}+\sum_{k=1}^N \mathbf{F}_{k\to i}}

Este sumatorio representa la suma sobre las partículas restantes, esto es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} va de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} hasta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N} , excluyendo el caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=i} , ya que admitimos que una partícula no produce fuerza sobre sí misma (equivalentemente, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_{i\to i}=\mathbf{0}} ).

Suponemos que las interacciones entre las partículas obdecen la 3ª ley de Newton

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_{k\to i} = -\mathbf{F}_{i\to k}}

o, lo que es lo mismo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_{k\to i} +\mathbf{F}_{i\to k} = \mathbf{0}}

En la mayoría de los casos se cumplirá además que la fuerza que la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} ejerce sobre la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} (y por tanto la que la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} ejerce sobre la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} ) va en la dirección de la recta que une ambas partículas. Matemáticamente, esto se expresa imponiendo que el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_{k\to i}} es paralelo a la posición relativa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k} , esto es, si

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_k)\times\mathbf{F}_{k\to i} = \mathbf{0}}

Eliminando paréntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la condición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{k\to i} + \mathbf{r}_k \times \mathbf{F}_{i\to k} = \mathbf{0}}

Propiedades globales de un sistema

Un sistema de partículas puede contener 2 o 3 partículas, pero también muchos miles de millones de ellas (por ejemplo 1 cm³ de agua contiene Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3\times 10^{22}} moléculas, cada una de las cuales contiene 26 partículas, entre protones, neutrones y electrones). Por ello, en la mayoría de los casos no es posible estudiar un sistema de partículas a partir de la evolución de cada uno de las partículas que lo forman (entre otras cosas, porque desconocemos la posición y la velocidad exacta de cada una).

En su lugar, nos restringimos a considerarlas colectivamente, definiendo propiedades del conjunto, que cumplen sus propias leyes de evolución. Esta reducción es particularmente útil en el caso del sólido rígido, para el cual las magnitudes que vamos a definir a continuación son suficientes para determinar la evolución del sistema completo.

Masa total

La masa total del sistema es la suma de las masas de los partículas que lo componen

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M = m_1 + m_2 + \cdots = \sum_{i=1}^N m_i}

Densidad de masa

Cuando tenemos un sistema de muchos millones de partículas (como en un sólido, o un fluido), no es práctico hacer el sumatorio de las masas individuales. En su lugar se divide el sistema en elementos de volumen, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\tau} , que son regiones del espacio lo suficientemente pequeñas para tratarlas como diferenciales, pero lo suficientemente grandes como para que contengan miles de partículas. El sistema se considera entonces como continuo, esto es, en lugar de describirse como formado por partículas separadas, se considera constituido por elementos de volumen adyacentes.

Se define entonces la densidad de masa, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho} de un elemento de volumen, como la masa de las partículas que lo forman, dividida por el volumen del elemento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho = \frac{1}{\Delta\tau} \sum_{m_i\in\Delta\tau} m_i}

Dicho de otra forma, la masa de un elemento de volumen es el producto de la densidad de masa por el volumen del elemento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta m = \sum_{m_i\in\Delta\tau} m_i = \rho\,\Delta\tau}

La masa total del sistema será la suma de la masa de todos sus elementos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M = \sum_{\forall\ \Delta m} \Delta m = \sum_{\forall\ \Delta\tau} \rho\,\mathrm{\Delta\tau}}

Una suma de muchas cantidades muy pequeñas no es otra cosa que una integral

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M = \int_M \mathrm{d}m = \int_\tau \rho\,\mathrm{d}\tau}

Aquí la densidad es una función de la posición porque en un sistema no homogéneo (por ejemplo, el cuerpo humano) la densidad varía de un punto a otro.

Centro de masas

El centro de masas (CM) de un sistema de partículas es una media ponderada, según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_C = \frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2+\cdots...}{m_1++m_2+\cdots} = \frac{\sum_{i=1}^N m_i\mathbf{r}_i}{M}}

Equivalentemente se cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M\mathbf{r}_C = \sum_i m_i\mathbf{r}_i}

En el caso de un sistema continuo, habrá que sumar para todos los elementos que lo componen

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_C = \frac{1}{M}\int_M \mathbf{r}\,\mathrm{d}m = \frac{1}{M}\int_\tau \mathbf{r}\,\rho\,\mathrm{d}\tau}

Velocidad del centro de masas

El centro de masas no es un punto fijo, sino que puede desplazarse cuando lo hacen las partículas del sistema. Obtenemos su velocidad derivando la definición respecto al tiempo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_C = \frac{\mathrm{d}\mathrm{r}_C}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{M}\left(m_1\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1}{\mathrm{d}t}+m_1\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1}{\mathrm{d}t}+\cdots\right) = \frac{m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+\cdots...}{M} = \frac{\sum_{i=1}^N m_i\mathbf{v}_i}{M}}

Posición relativa al centro de masas

Una vez definida la posición del centro de masas, interesa indicar dónde están situadas las partículas respecto al CM. Esto se consigue definiendo la posición relativa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}'_i = \mathbf{r}_i-\mathbf{r}_C}

De manera análoga se define la velocidad relativa al CM

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}'_i = \mathbf{v}_i-\mathbf{v}_C}

Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{p} = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2+\cdots = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 + \cdots = \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{v}_i}

La cantidad de movimiento se relaciona directamente con el centro de masas del sistema. Derivando respecto al tiempo la relación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M\mathbf{r}_C = m_1 \mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2+\cdots }

obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_C}{\mathrm{d}t} = m_1 \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1}{\mathrm{d}t} + m_2\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2}{\mathrm{d}t} + \cdots = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+\cdots = \mathbf{p}}

esto es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{p} = M \mathbf{v}_C}

En palabras: la cantidad de movimiento del sistema equivale a la que tendría una sola partícula material que concentrara toda la masa del sistema y que se moviera como el centro de masas de éste.

De la relación entre cantidad de movimiento y centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{p}' = m_1 \mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2 + \cdots = m_1 (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C) + m_2(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C) + \cdots = } Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 + \cdots) - (m_1+m_2+\cdots)\mathbf{v}_C = \mathbf{p}- M \mathbf{v}_C=\mathbf{0}}

Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el sistema centro de masas. Hay que señalar que, puesto que el centro de masas no se moverá en general de manera uniforme, el sistema centro de masas no es un sistema inercial.

Momento angular (o cinético)

De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{L}=\mathbf{L}_1+\mathbf{L}_2 +\cdots = m_1\mathbf{r}_1\times\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{r}_2\times\mathbf{r}_2+\cdots = \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{v}_i}

Descomposición del momento angular

Las ecuaciones de la dinámica de sistemas se simplificarían notablemente si el momento angular, como el lineal, equivaliera al de una partícula puntual que concentrara toda la masa. No es así.

Para relacionar el momento angular con el centro de masa, descomponemos cada posición y cada velocidad en suma de la del centrode masa más la posición o velocidad relativas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_i = \mathbf{r}_C+\mathbf{r}'_i\,}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_i = \mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i\,}

Con esta descomposición, el momento angular de cada partícula se separa en cuatro términos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{L}_i = m_i(\mathbf{r}_C+\mathbf{r}'_i)\times( \mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i)= m_i\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+m_i\mathbf{r}'_i\times \mathbf{v}_C+m_i\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}'_i+m_i\mathbf{r}'_i\times\mathbf{v}'_i}

Al sumar los momentos cinéticos individuales para obtener el momento angular total nos quedan cuatro sumas, en cada una de las cuales podemos sacar factor común la posición o la velocidad del CM, que es una cantidad que no depende del índice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{L}= \mathbf{L}_1+\mathbf{L}_2 +\cdots = \left(m_1+m_2+\cdots\right)\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+\left(m_1\mathbf{r}'_1+m_2\mathbf{r}'_2+\cdots\right)\times\mathbf{v}_C +} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\mathbf{r}_C\times\left(m_1\mathbf {v}'_1+m_2\mathbf{v}'_2+\cdots\right)+\left(m_1\mathbf{r}'_1\times\mathbf{v}'_1+m_2\mathbf{r}'_2\times\mathbf{v}'_2+\cdots\right)}

Ahora bien, de la definición de centro de masas se deduce que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1\mathbf{r}'_1+m_2\mathbf{r}'_2 +\cdots = m_1(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_C)+m_2(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_C)+\cdots = \left(m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2+\cdots\right)-\left(m_1+m_2+\cdots\right)\mathbf{r}_C = M\mathbf{r}_C-M\mathbf{r}_C = \mathbf{0}}

y, del mismo modo,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1\mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2 +\cdots = \mathbf{p}' = \mathbf{0}}

Por tanto, el segundo y el tercer término en la expresión del momento cinético total se anulan y la expresión se reduce a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{L}= M\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+\mathbf{L}'}

donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{L}'= \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{r}'_i\times\mathbf{v}'_i}

es el momento angular relativo al centro de masas.

Según esto, el momento angular o cinético de un sistema de partículas se compone de dos contribuciones: el momento angular que tendría una partícula que contuviera toda la masa y se moviera como el centro de masas del sistema, más el momento angular que tienen las partículas por moverse alrededor del centro de masas.

Un ejemplo físico sencillo de esta descomposición lo tenemos en el momento angular de la Tierra en cuanto planeta del Sistema Solar. Su momento angular se compone de una parte debida al movimiento de traslación alrededor del Sol (lo que se conoce como momento angular orbital), que sería el primer término, más otra parte debida al movimiento de rotación alrededor de su eje (el llamado momento angular intrínseco), que sería Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{L}'} .

Energía cinética

La energía cinética del sistema es la suma escalar de las energías cinéticas individuales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K = K_1+K_2+\cdots = \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2 + \cdots = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^Nm_iv_i^2}

Descomposición de la energía cinética

Para la energía cinética podemos efectuar una descomposición análoga a la del momento cinético. Escribiendo cada velocidad como suma de la del CM más la relativa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_i = \mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i}

queda, para la energía cinética individual,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K_i = \frac{1}{2}m_i(\mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i)\cdot(\mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i) = \frac{1}{2}m_iv_C^2+mi\mathbf{v}_C\cdot\mathbf{v}'_i+\frac{1}{2}m_i{v'}_i^2}

y para la energía cinética total

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K = \frac{1}{2}(m_1+m_2+\cdots)v_C^2+\left(m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+\cdots\right)\cdot\mathbf{v}_C +\left(\frac{1}{2}m_1{v'}_1^2+\frac{1}{2}m_2{v'}^2_2+\cdots\right)}

El segundo término se anula por aparecer en él Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{p}'=\mathbf{0}} , lo que reduce la energía cinética a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K = \frac{1}{2}Mv_C^2 + K'}

con

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K' = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N m_i {v'}^2_i}

la energía cinética del sistema relativa al centro de masas.

Esta descomposición se interpreta como que el sistema posee una energía cinética por el movimiento de traslación colectivo, más un término debido al movimiento sobre sí mismo. Esta energía cinética intrínseca, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K'} es parte de la energía interna del sistema. Puede estar asociada a:

• un movimiento organizado. Por ejemplo, en la rotación de la Tierra alrededor de su eje.
• un movimiento desorganizado. Por ejemplo, en un gas que se encuentra a una cierta temperatura, el centro de masas puede estar estacionario y sin embargo el gas posee una energía cinética debido al movimiento de las moléculas que lo componen. Esta energía cinética es lo que llamamos agitación térmica.
• una combinación de ambos. Este es el caso general. La energía cinética del sistema parte se encuentra en movimientos macroscópicos (rotación o traslación de partes del sistema) y parte en movimientos microscópicos caóticos.

Por la presencia de estos términos microscópicos caóticos la energía cinética total del sistema es normalmente desconocida. En su lugar nos limitamos a la suma del término Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Mv_C^2/2} con la suma de las energías cinéticas debidas a los movimientos macroscópicos.