Disco sostenido por una armadura

Enunciado

Un disco liso de radio $R$ y cuyo peso vale $P$, está sostenido según se indica en la figura por la armadura $M$ de peso despreciable. El punto $A$ de dicha armadura se halla conectado a un muro vertical mediante un cojinete de sustentación y empuje sin rozamiento (par de revolución liso), siendo $h=3R/2$ la distancia que separa sendas rectas horizontales que pasan por $A$ y por el centro del disco $O$. Se pide:

1. Hallar las reacciones que el cojinete ejerce sobre la armadura en el punto A.
2. Hallar las reacciones ejercidas sobre el cilindro en los puntos de contacto B, C y D.

Solución

Reacción sobre la armadura en el punto $A$

Tenemos tres sólidos en el problema, la pared (sólido "1"), la armadura (sólido "0") y el disco sólido "2"). Para resolver el primer apartado vamos a considerar la armadura y el disco como un único sólido (sólido "2+0"). Las fuerzas externas que actúan sobre este sólido compuesto son el peso $P$, y las f.r.v. que ejerce sobre él la pared en los puntos $A$ y $D$.

El peso tiene dirección vertical. El vínculo en $D$ es liso, por lo que ${\vec {\Phi }}_{21}^{D}$ es normal a la pared. La dirección de la recta soporte de ${\vec {\Phi }}_{01}^{A}$ está determinada por el teorema de las tres fuerzas, que obliga a que las tres fuerzas sean concurrentes. La figura muestra las fuerzas que actúan sobre el sólido "2+0".

Escogemos los ejes $X$ y $Y$ como se indica en la figura para expresar las fuerzas. Tenemos

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {P}}=-P\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {\Phi }}_{21}^{D}=N_{21}^{D}\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {\Phi }}_{01}^{A}=\Phi _{01x}^{A}\,{\vec {\imath }}+\Phi _{01y}^{A}\,{\vec {\jmath }}\end{array}}\right.$

Tenemos tres incógnitas: $N_{21}^{D}$, $\Phi _{01x}^{A}$ y $\Phi _{o1y}^{A}$. Necesitamos tres ecuaciones. Podemos obtenerlas imponiendo las condiciones de equilibrio al sólido compuesto "0+2". En primer lugar la resultante de las fuerzas externas debe ser nula

${\vec {P}}+{\vec {\Phi }}_{21}^{D}+{\vec {\Phi }}_{21}^{A}={\vec {0}}\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}N_{21}^{D}+\Phi _{01x}^{A}=0\\\\\Phi _{01y}^{A}=P\end{array}}\right.$

La otra condición dice que el momento resultante del sistema de fuerzas debe ser nulo respecto de cualquier punto. Calculamos el momento respecto del punto $D$

${\begin{array}{rl}{\overrightarrow {DD}}\times {\vec {\Phi }}_{21}^{D}+&{\overrightarrow {DO}}\times {\vec {P}}+{\overrightarrow {DA}}\times {\vec {\Phi }}_{01}^{A}={\vec {0}}\\&{\overrightarrow {DD}}\times {\vec {\Phi }}_{21}^{D}={\vec {0}}\\&{\overrightarrow {DO}}\times {\vec {P}}=(-R\,{\vec {\imath }})\times (-P\,{\vec {\jmath }})=R\,P\,{\vec {k}}\\&{\overrightarrow {DA}}\times {\vec {\Phi }}_{01}^{A}={\vec {0}}\left({\dfrac {3}{2}}R\,{\vec {\jmath }}\right)\times \left(\Phi _{01x}^{A}{\vec {\imath }}+\Phi _{01y}^{A}{\vec {\jmath }}\right)=-{\dfrac {3}{2}}R\Phi _{01x}^{A}{\vec {k}}\end{array}}$

La ecuación resultante es

$P\,R-{\dfrac {3}{2}}R\,\Phi _{01x}^{A}=0\Longrightarrow \Phi _{01x}^{A}={\dfrac {2P}{3}}$

Llevando esto a las ecuaciones anteriores obtenemos las f.r.v. en $A$ y en $D$

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {\Phi }}_{01}^{A}={\dfrac {2P}{3}}{\vec {\imath }}+P\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {\Phi }}_{21}^{D}=-{\dfrac {2P}{3}}{\vec {\imath }}\end{array}}\right.$

Podemos comprobar que los signos obtenidos concuerdan con los que se pueden intuir en el dibujo.

Reacciones en $B$, $C$ y $D$

De las tres reacciones pedidas tenemos ya la f.r.v. en $D$. Para obtener las otras consideramos ahora el disco como sólido problema y lo liberamos. Todos los contactos son lisos, por lo que todas las f.r.v. son normales a los contactos, como se indica en la figura. Usando los ejes indicados las fuerzas son

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {\Phi }}_{21}^{D}=-{\dfrac {2P}{3}}{\vec {\imath }}\\\\{\vec {\Phi }}_{20}^{B}=N_{20}^{B}\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {\Phi }}_{20}^{C}=N_{20}^{C}\,{\vec {\jmath }}\end{array}}\right.$

Tenemos sólo dos incógnitas. Aquí basta con aplicar la condición de resultante nula de las fuerzas actuando sobre el sólido "2" para resolver el problema. Tenemos

${\vec {\Phi }}_{20}^{B}+{\vec {\Phi }}_{20}^{C}+{\vec {\Phi }}_{21}^{D}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{l}\Phi _{20}^{C}=P\\\\\Phi _{20}^{B}={\dfrac {2P}{3}}\end{array}}\right.$

Con lo que las fuerzas son

${\vec {\Phi }}_{20}^{B}={\dfrac {2P}{3}}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {\Phi }}_{20}^{C}=P\,{\vec {\jmath }}$