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Disco sostenido por una armadura

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un disco liso de radio R y cuyo peso vale P, está sostenido según se indica en la figura por la armadura M de peso despreciable. El punto A de dicha armadura se halla conectado a un muro vertical mediante un cojinete de sustentación y empuje sin rozamiento (par de revolución liso), siendo h = 3R / 2 la distancia que separa sendas rectas horizontales que pasan por A y por el centro del disco O. Se pide:

  1. Hallar las reacciones que el cojinete ejerce sobre la armadura en el punto A.
  2. Hallar las reacciones ejercidas sobre el cilindro en los puntos de contacto B, C y D.

2 Solución

2.1 Reacción sobre la armadura en el punto A

Tenemos tres sólidos en el problema, la pared (sólido "1"), la armadura (sólido "0") y el disco sólido "2"). Para resolver el primer apartado vamos a considerar la armadura y el disco como un único sólido (sólido "2+0"). Las fuerzas externas que actúan sobre este sólido compuesto son el peso P, y las f.r.v. que ejerce sobre él la pared en los puntos A y D.

El peso tiene dirección vertical. El vínculo en D es liso, por lo que \vec{\Phi}^D_{21} es normal a la pared. La dirección de la recta soporte de \vec{\Phi}^A_{01} está determinada por el teorema de las tres fuerzas, que obliga a que las tres fuerzas sean concurrentes. La figura muestra las fuerzas que actúan sobre el sólido "2+0".

Escogemos los ejes X y Y como se indica en la figura para expresar las fuerzas. Tenemos


  \left.
  \begin{array}{l}
    \vec{P} = -P\,\vec{\jmath}\\ \\
    \vec{\Phi}^D_{21} = N^D_{21}\,\vec{\imath} \\ \\
    \vec{\Phi}^A_{01} = \Phi^A_{01x}\,\vec{\imath} + \Phi^A_{01y}\,\vec{\jmath}
  \end{array}
  \right.

Tenemos tres incógnitas: N^D_{21}, \Phi^A_{01x} y \Phi^A_{o1y}. Necesitamos tres ecuaciones. Podemos obtenerlas imponiendo las condiciones de equilibrio al sólido compuesto "0+2". En primer lugar la resultante de las fuerzas externas debe ser nula


  \vec{P}+\vec{\Phi}^D_{21}+\vec{\Phi}^A_{21}=\vec{0}
  \Rightarrow
  \left\{
  \begin{array}{l}
    N^D_{21} + \Phi^A_{01x}=0\\ \\
    \Phi^A_{01y} = P
  \end{array}
  \right.

La otra condición dice que el momento resultante del sistema de fuerzas debe ser nulo respecto de cualquier punto. Calculamos el momento respecto del punto D


  \begin{array}{rl}
  \overrightarrow{DD}\times\vec{\Phi}^D_{21} +& \overrightarrow{DO}\times\vec{P} + \overrightarrow{DA}\times\vec{\Phi}^A_{01} =
  \vec{0}  \\
    &\overrightarrow{DD}\times\vec{\Phi}^D_{21}=\vec{0}\\
    &\overrightarrow{DO}\times\vec{P}= (-R\,\vec{\imath})\times(-P\,\vec{\jmath}) = R\,P\,\vec{k}\\
    &\overrightarrow{DA}\times\vec{\Phi}^A_{01}=\vec{0}
    \left(\dfrac{3}{2}R\,\vec{\jmath}\right)\times\left(\Phi^A_{01x}\vec{\imath}+\Phi^A_{01y}\vec{\jmath}\right)=-\dfrac{3}{2}R\Phi^A_{01x}\vec{k}
  \end{array}

La ecuación resultante es


  P\,R - \dfrac{3}{2}R\,\Phi^A_{01x}=0\Longrightarrow \Phi^A_{01x} = \dfrac{2P}{3}

Llevando esto a las ecuaciones anteriores obtenemos las f.r.v. en A y en D


  \left.
  \begin{array}{l}
    \vec{\Phi}^A_{01} = \dfrac{2P}{3}\vec{\imath} + P\,\vec{\jmath}\\ \\
    \vec{\Phi}^D_{21} = -\dfrac{2P}{3}\vec{\imath}
  \end{array}
  \right.

Podemos comprobar que los signos obtenidos concuerdan con los que se pueden intuir en el dibujo.

2.2 Reacciones en B, C y D

De las tres reacciones pedidas tenemos ya la f.r.v. en D. Para obtener las otras consideramos ahora el disco como sólido problema y lo liberamos. Todos los contactos son lisos, por lo que todas las f.r.v. son normales a los contactos, como se indica en la figura. Usando los ejes indicados las fuerzas son


  \left.
  \begin{array}{l}
    \vec{\Phi}^D_{21} = -\dfrac{2P}{3}\vec{\imath}\\ \\
    \vec{\Phi}^B_{20} = N^B_{20}\,\vec{\imath}\\ \\
    \vec{\Phi}^C_{20} = N^C_{20}\,\vec{\jmath}
  \end{array}
  \right.

Tenemos sólo dos incógnitas. Aquí basta con aplicar la condición de resultante nula de las fuerzas actuando sobre el sólido "2" para resolver el problema. Tenemos


  \vec{\Phi}^B_{20} + \vec{\Phi}^C_{20} + \vec{\Phi}^D_{21} =  \vec{0}
  \Longrightarrow
  \left\{
  \begin{array}{l}
    \Phi^C_{20} = P \\ \\ \Phi^B_{20} = \dfrac{2P}{3}
  \end{array}
  \right.

Con lo que las fuerzas son


  \vec{\Phi}^B_{20}= \dfrac{2P}{3}\vec{\imath} \qquad\qquad \vec{\Phi}^C_{20} = P\,\vec{\jmath}

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