Disco sostenido por una armadura

Enunciado

Un disco liso de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} y cuyo peso vale Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} , está sostenido según se indica en la figura por la armadura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} de peso despreciable. El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de dicha armadura se halla conectado a un muro vertical mediante un cojinete de sustentación y empuje sin rozamiento (par de revolución liso), siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h = 3R/2} la distancia que separa sendas rectas horizontales que pasan por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y por el centro del disco Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . Se pide:

1. Hallar las reacciones que el cojinete ejerce sobre la armadura en el punto A.
2. Hallar las reacciones ejercidas sobre el cilindro en los puntos de contacto B, C y D.

Solución

Reacción sobre la armadura en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}

Tenemos tres sólidos en el problema, la pared (sólido "1"), la armadura (sólido "0") y el disco sólido "2"). Para resolver el primer apartado vamos a considerar la armadura y el disco como un único sólido (sólido "2+0"). Las fuerzas externas que actúan sobre este sólido compuesto son el peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} , y las f.r.v. que ejerce sobre él la pared en los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} .

El peso tiene dirección vertical. El vínculo en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} es liso, por lo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^D_{21}} es normal a la pared. La dirección de la recta soporte de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^A_{01}} está determinada por el teorema de las tres fuerzas, que obliga a que las tres fuerzas sean concurrentes. La figura muestra las fuerzas que actúan sobre el sólido "2+0".

Escogemos los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} como se indica en la figura para expresar las fuerzas. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \vec{P} = -P\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{\Phi}^D_{21} = N^D_{21}\,\vec{\imath} \\ \\ \vec{\Phi}^A_{01} = \Phi^A_{01x}\,\vec{\imath} + \Phi^A_{01y}\,\vec{\jmath} \end{array} \right. }

Tenemos tres incógnitas: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N^D_{21}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi^A_{01x}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Phi^A_{o1y}} . Necesitamos tres ecuaciones. Podemos obtenerlas imponiendo las condiciones de equilibrio al sólido compuesto "0+2". En primer lugar la resultante de las fuerzas externas debe ser nula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}+\vec{\Phi}^D_{21}+\vec{\Phi}^A_{21}=\vec{0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} N^D_{21} + \Phi^A_{01x}=0\\ \\ \Phi^A_{01y} = P \end{array} \right. }

La otra condición dice que el momento resultante del sistema de fuerzas debe ser nulo respecto de cualquier punto. Calculamos el momento respecto del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rl} \overrightarrow{DD}\times\vec{\Phi}^D_{21} +& \overrightarrow{DO}\times\vec{P} + \overrightarrow{DA}\times\vec{\Phi}^A_{01} = \vec{0} \\ &\overrightarrow{DD}\times\vec{\Phi}^D_{21}=\vec{0}\\ &\overrightarrow{DO}\times\vec{P}= (-R\,\vec{\imath})\times(-P\,\vec{\jmath}) = R\,P\,\vec{k}\\ &\overrightarrow{DA}\times\vec{\Phi}^A_{01}=\vec{0} \left(\dfrac{3}{2}R\,\vec{\jmath}\right)\times\left(\Phi^A_{01x}\vec{\imath}+\Phi^A_{01y}\vec{\jmath}\right)=-\dfrac{3}{2}R\Phi^A_{01x}\vec{k} \end{array} }

La ecuación resultante es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,R - \dfrac{3}{2}R\,\Phi^A_{01x}=0\Longrightarrow \Phi^A_{01x} = \dfrac{2P}{3} }

Llevando esto a las ecuaciones anteriores obtenemos las f.r.v. en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \vec{\Phi}^A_{01} = \dfrac{2P}{3}\vec{\imath} + P\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{\Phi}^D_{21} = -\dfrac{2P}{3}\vec{\imath} \end{array} \right. }

Podemos comprobar que los signos obtenidos concuerdan con los que se pueden intuir en el dibujo.

Reacciones en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D}

De las tres reacciones pedidas tenemos ya la f.r.v. en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} . Para obtener las otras consideramos ahora el disco como sólido problema y lo liberamos. Todos los contactos son lisos, por lo que todas las f.r.v. son normales a los contactos, como se indica en la figura. Usando los ejes indicados las fuerzas son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \vec{\Phi}^D_{21} = -\dfrac{2P}{3}\vec{\imath}\\ \\ \vec{\Phi}^B_{20} = N^B_{20}\,\vec{\imath}\\ \\ \vec{\Phi}^C_{20} = N^C_{20}\,\vec{\jmath} \end{array} \right. }

Tenemos sólo dos incógnitas. Aquí basta con aplicar la condición de resultante nula de las fuerzas actuando sobre el sólido "2" para resolver el problema. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^B_{20} + \vec{\Phi}^C_{20} + \vec{\Phi}^D_{21} = \vec{0} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Phi^C_{20} = P \\ \\ \Phi^B_{20} = \dfrac{2P}{3} \end{array} \right. }

Con lo que las fuerzas son

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