Dos discos dentro de una corona (CMR)

Enunciado

En el interior de un hueco circular (“1”) de radio 3R se encuentran dos discos (“2” y “3”) del mismo espesor y densidad de masa, de radios R y 2R, respectivamente, siendo sus masas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2=m} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_3=4m} . Una varilla (“4”) de masa despreciable une sus centros. Los dos discos están articulados sin rozamiento en la varilla. Los discos ruedan sin deslizar sobre la pared del hueco, de manera que en todo momento dado la velocidad del centro del disco pequeño respecto al aro exterior es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^C=v_0 \vec{\jmath}_4} .

1. Determine las velocidades angulares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{31}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{41}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{32}}
2. Determine la velocidad de deslizamiento de un disco respecto a otro en el punto de contacto A, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{23}^A} .
3. Halle la energía cinética del sistema y el momento cinético respecto al centro del sistema, O.

Dato: Momento de inercia de un disco alrededor de un eje perpendicular a él que pasa por su centro: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I=mR^2/2} .

Velocidades angulares

El disco “2” rueda sobre la corona, de manera que el punto B de contacto tiene velocidad nula. Aplicando la expresión del campo de velocidades

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0\vec{\jmath}_4=\vec{v}^C_{21}=\overbrace{\vec{v}^B_{21}}^{=\vec{0}}+\left(\omega_{21}\vec{k}\right)\times(R\vec{\imath}_4)=\omega_{21}R\vec{\jmath}_{4}}

Por ello

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\frac{v_0}{R}\vec{k}}

De la misma manera, para la varilla 4, a la cual también pertenece el punto C, gira alrededor del centro O.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0\vec{\jmath}_4=\vec{v}^C_{41}=\overbrace{\vec{v}^O_{41}}^{=\vec{0}}+\left(\omega_{41}\vec{k}\right)\times(-2R\vec{\imath}_4)=-2\omega_{21}R\vec{\jmath}_{4}}

Por ello

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{41}=-\frac{v_0}{2R}\vec{k}}

Esto nos da la velocidad del centro D del disco grande, también unido a la varilla

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^D_{31}=\vec{v}^D_{41}\overbrace{\vec{v}^O_{41}}^{=\vec{0}}+\left(-\frac{v_0}{2R}\vec{k}\right)\times(R\vec{\imath}_4)=-\frac{v_0}{R}\vec{\jmath}_{4}}

Este disco 3 rueda sobre el punto de contacto E, lo que nos da la velocidad angular de este disco respecto a la corona.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{v_0}{2}\vec{\jmath}_4=\vec{v}^D_{31}=\overbrace{\vec{v}^D_{31}}^{=\vec{0}}+\left(\omega_{31}\vec{k}\right)\times(-2R\vec{\imath}_4)=-2\omega_{21}R\vec{\jmath}_{4}}

Por ello

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{31}=\frac{v_0}{4R}\vec{k}}