Enunciado
Se tiene un sistema horizontal en el que una partícula P, de masa m, se encuentra unida a una varilla de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell}
cuyo otro extremo, A, se halla articulado a una segunda varilla, de longitud b, cuyo segundo extremo, O, está fijo. La varilla OA gira en torno a O con velocidad angular constante Ω, mientras que la varilla AP puede girar libremente en torno a A. Sea θ el ángulo que AP forma con la prolongación de OA.
- ¿Qué vínculo hay entre las coordenadas cartesianas de P? Escríbalo en forma geométrica, cinemática y pfaffiana.
- Obtenga la ecuación de movimiento para el ángulo θ.
- ¿Qué puntos de equilibrio hay para el ángulo θ? ¿Son estables o inestables?
Ecuación de vínculo
La ecuación de vínculo sobre P es que su distancia al punto A es constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{AP}|=\ell=\mathrm{cte}}
Se trata de escribir esta relación en términos de las coordenadas cartesianas de P.
La posición de A es en todo momento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=b\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1+b\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}_1}
con lo que la ecuación de vínculo se puede escribir en la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x-b\cos(\Omega t))^2+(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))^2 = \ell^2}
Esta sería la forma geométrica.
Obtenemos la forma cinemática derivando esta respecto al tiempo.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2(x-b\cos(\Omega t))(\dot{x}+b\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t))+2(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))(\dot{y}-b\Omega\cos(\Omega t))=0}
Simplificando por 2 y agrupando términos queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}(x-b\cos(\Omega t))+\dot{y}(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))+b\Omega(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0}
La forma pfaffiana se obteien multiplicando la condición cinemática por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}t}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}x(x-b\cos(\Omega t))+\mathrm{d}y(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))+b\Omega\,\mathrm{d}t(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0}
Ecuación de movimiento
Siguiendo los cálculos y la notación del problema “Dos barras articuladas” la posición, velocidad y aceleración de A son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_2\qquad\qquad \vec{v}^A_{21}=b\Omega\vec{\jmath}_2\qquad\qquad \vec{a}^A_{21}=-b\Omega^2\vec{\imath}_2}
Por ser A una articulación entre los sólidos 2 y 3, estos valores corresponden también al movimiento {31}.
Para el punto P tenemos la posición
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}=b\vec{\imath}_2+\ell\vec{\imath}_3}
la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P_{31}=b\Omega\vec{\jmath}_2+\ell(\Omega+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3}
y la aceleración
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^P_{31}=-b\Omega^2\vec{\imath}_2+\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3}
La única fuerza que actúa sobre la masa en P es la tensión de la varilla, de manera que la segunda Ley de Newton queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}^P_{31}=-F_{T}\vec{\imath}_3}
Sustituimos la aceleración de P
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -mb\Omega^2\vec{\imath}_2+m\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-m\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3=-F_{T}\vec{\imath}_3}
Para eliminar la tensión de los cálculos proyectamos sobre la dirección ortogonal, que en este caso es la de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_3}
. Queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mb\Omega^2\,\mathrm{sen}(\theta)+m\ell\ddot{\theta}=0}
o, equivalentemente,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}=-\frac{b\Omega^2}{\ell}\mathrm{sen}(\theta)}
Esta es la ecuación de un péndulo simple. Empleando fuerzas ficticias, diríamos que aquí el papel de la gravedad lo desempeña la fuerza centrífuga. Así es como se llegaría a este mismo resultado empleando un sistema de referencia en rotación.
Puntos de equilibrio
Al ser la ecuación de movimiento equivalente a un péndulo, al análisis del equilibrio es idéntico.
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=0}
representa un punto de equilibrio estable.
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\pi}
representa un punto de equilibrio inestable.
Es decir, el sistema sería estable con la varilla AP completamente extendida y sería inestable con AP plegada sobre OA.
