Rotación tridimensional de una partícula (CMR)

Enunciado

Una partícula describe un movimiento circular alrededor del origen de forma que en un cierto instante su posición la da el vector

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=(16\vec{\imath}+15\vec{\jmath} -12\vec{k})\,\mathrm{cm}}

La velocidad angular de la partícula en el mismo instante es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=(-12\vec{\imath}+20\vec{\jmath}+9\vec{k})\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}

En el mismo instante la aceleración angular tiene sentido opuesto a la velocidad angular y módulo 0.50 rad/s². Para este instante, calcule:

1. La velocidad lineal y la rapidez de la partícula.
2. La aceleración tangencial y la aceleración normal, tanto escalares como vectores.
3. Los vectores tangente y normal.
4. El radio de curvatura y el centro de curvatura.

Velocidad y rapidez

En lo que sigue, en todos los cálculos se usará el SI, por lo que escribiremos la posición como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=(0.16\vec{\imath}+0.15\vec{\jmath} -0.12\vec{k})\,\mathrm{m}}

Velocidad lineal

Para una partícula que describe un movimiento de rotación alrededor del origen, su velocidad instantánea la da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -12 & 20 & 9 \\ 0.16 & 0.15 & -0.12\end{matrix}\right|=(-3.75\vec{\imath}+5.00\vec{k})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

Rapidez

La rapidez o celeridad es igual al módulo de la velocidad

$\left|{\vec {v}}\right|={\sqrt {3.75^{2}+5.00^{2}}}=6.25\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Esta rapidez es igual a

$\left|{\vec {v}}\right|=\left|{\vec {\omega }}\right|\left|{\vec {r}}\right|$

donde

$\left|{\vec {\omega }}\right|={\sqrt {12^{2}+20^{2}+9^{2}}}=25\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

y

$\left|{\vec {r}}\right|={\sqrt {0.16^{2}+0.15^{2}+0.12^{2}}}=0.25\mathrm {m}$

Componentes intrínsecas de la aceleración

La aceleración de una partícula en un movimiento circular alrededor del origen lo da la expresión vectorial

${\vec {a}}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}$

donde el primer término es la aceleración tangencial

${\vec {a}}_{t}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}$

y el segundo la normal

${\vec {a}}_{n}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}$

Aceleración tangencial

A partir de su expresión vectorial

Para calcular la aceleración tangencial necesitamos antes la aceleración angular. Por tratarse de un movimiento circular, la aceleración angular es paralela a la velocidad angular

${\vec {\alpha }}=\alpha \,{\vec {u}}_{\omega }=\alpha {\frac {\vec {\omega }}{|{\vec {\omega }}|}}$

Puesto que se nos dice que su módulo es 0.50rad/s² y su sentido opuesto al de la velocidad angular, el vector aceleración angular vale

${\vec {\alpha }}=-0.50{\frac {-12{\vec {\imath }}+20{\vec {\jmath }}+9{\vec {k}}}{25}}=\left(0.24{\vec {\imath }}-0.40{\vec {\jmath }}-0.18{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Esto nos da la aceleración tangencial

${\vec {a}}_{t}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}=\left(0.075{\vec {\imath }}+0.10{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

En forma escalar, proyectamos sobre la velocidad

$a_{t}={\frac {{\vec {a}}_{t}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {v}}|}}=-0.125\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

A partir de su módulo, dirección y sentido

Esta aceleración tangencial también puede calcularse observando que:

• Es tangente a la velocidad, es decir, es paralela a

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}=-{\frac {3.75{\vec {\imath }}+5{\vec {k}}}{6.25}}=-0.6{\vec {\imath }}-0.8{\vec {k}}$

• Tiene módulo

$\left|{\vec {a}}_{t}\right|=\left|{\vec {\alpha }}\right|\left|{\vec {r}}\right|=0.5\times 0.25=0.125\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

• Puesto que la aceleración angular ${\vec {\alpha }}$ es opuesta a la velocidad angular, la aceleración tangencial es opuesta a la velocidad.

Por tanto

${\vec {a}}_{t}=-|{\vec {a}}_{t}|{\vec {T}}=-0.125\left(-0.6{\vec {\imath }}-0.8{\vec {k}}\right)=\left(0.075{\vec {\imath }}+0.10{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Aceleración normal

A partir de su expresión vectorial

La parte normal de la aceleración en un movimiento circular es

${\vec {a}}_{n}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}$

lo que en este caso da

${\vec {a}}_{n}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-12&20&9\\-3.75&0.00&5.00\end{matrix}}\right|=\left(-100{\vec {\imath }}-93.75{\vec {\jmath }}-75{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

y en forma escalar

$a_{n}=\left|{\vec {a}}_{n}\right|=156.25\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

A partir de su módulo, dirección y sentido

La aceleración normal en este movimiento puede también calcularse observando que:

• Tiene por módulo

$|{\vec {a}}_{n}|=|{\vec {\omega }}|^{2}|{\vec {r}}|=25^{2}\times 0.25=156.25\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

• Su dirección es radial, es decir en la de

${\vec {u}}_{r}={\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}=0.64{\vec {\imath }}+0.60{\vec {\jmath }}-0.48{\vec {k}}$

• Su sentido es hacia adentro de la circunferencia, según el vector normal

${\vec {N}}=-{\vec {u}}_{r}=-0.64{\vec {\imath }}-0.60{\vec {\jmath }}+0.48{\vec {k}}$

Todo esto da

${\vec {a}}_{t}=156.25\left(-0.64{\vec {\imath }}-0.60{\vec {\jmath }}+0.48{\vec {k}}\right)=\left(-100{\vec {\imath }}-93.75{\vec {\jmath }}-75{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

y la forma escalar

$a_{n}=\left|{\vec {a}}_{n}\right|=156.25\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Vectores tangente y normal

Vector tangente

El vector tangente es el unitario en la dirección y sentido de la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\frac{3.75\vec{\imath}+5\vec{k}}{6.25}=-0.6\vec{\imath}-0.8\vec{k}}

Vector normal

El vector normal es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

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que en el caso de un movimiento circular alrededor del origen es radial y hacia el centro de la circunferencia

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=-\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}}

Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura puede hallarse por la fórmula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}}

pero en el caso de un movimiento circular alrededor del origen es simplemente la distancia a éste

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=|\vec{r}| = 0.25\,\mathrm{m}}

El centro de curvatura se puede hallar por

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pero en el caso de un movimiento circular el centro de curvatura es el propio centro de la circunferencia, que en este caso es

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