Rotación tridimensional de una partícula (CMR)

Enunciado

Una partícula describe un movimiento circular alrededor del origen de forma que en un cierto instante su posición la da el vector

${\vec {r}}=(16{\vec {\imath }}+15{\vec {\jmath }}-12{\vec {k}})\,\mathrm {cm}$

La velocidad angular de la partícula en el mismo instante es

${\vec {\omega }}=(-12{\vec {\imath }}+20{\vec {\jmath }}+9{\vec {k}}){\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

En el mismo instante la aceleración angular tiene sentido opuesto a la velocidad angular y módulo 0.50 rad/s². Para este instante, calcule:

1. La velocidad lineal y la rapidez de la partícula.
2. La aceleración tangencial y la aceleración normal, tanto escalares como vectores.
3. Los vectores tangente y normal.
4. El radio de curvatura y el centro de curvatura.

Velocidad y rapidez

En lo que sigue, en todos los cálculos se usará el SI, por lo que escribiremos la posición como

${\vec {r}}=(0.16{\vec {\imath }}+0.15{\vec {\jmath }}-0.12{\vec {k}})\,\mathrm {m}$

Velocidad lineal

Para una partícula que describe un movimiento de rotación alrededor del origen, su velocidad instantánea la da

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-12&20&9\\0.16&0.15&-0.12\end{matrix}}\right|=(-3.75{\vec {\imath }}+5.00{\vec {k}})\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Rapidez

La rapidez o celeridad es igual al módulo de la velocidad

$\left|{\vec {v}}\right|={\sqrt {3.75^{2}+5.00^{2}}}=6.25\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Esta rapidez es igual a

$\left|{\vec {v}}\right|=\left|{\vec {\omega }}\right|\left|{\vec {r}}\right|$

donde

$\left|{\vec {\omega }}\right|={\sqrt {12^{2}+20^{2}+9^{2}}}=25\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

y

$\left|{\vec {r}}\right|={\sqrt {0.16^{2}+0.15^{2}+0.12^{2}}}=0.25\mathrm {m}$

Componentes intrínsecas de la aceleración

La aceleración de una partícula en un movimiento circular alrededor del origen lo da la expresión vectorial

${\vec {a}}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}$

donde el primer término es la aceleración tangencial

${\vec {a}}_{t}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}$

y el segundo la normal

${\vec {a}}_{n}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}$

Aceleración tangencial

A partir de su expresión vectorial

Para calcular la aceleración tangencial necesitamos antes la aceleración angular. Por tratarse de un movimiento circular, la aceleración angular es paralela a la velocidad angular

${\vec {\alpha }}=\alpha \,{\vec {u}}_{\omega }=\alpha {\frac {\vec {\omega }}{|{\vec {\omega }}|}}$

Puesto que se nos dice que su módulo es 0.50rad/s² y su sentido opuesto al de la velocidad angular, el vector aceleración angular vale

${\vec {\alpha }}=-0.50{\frac {-12{\vec {\imath }}+20{\vec {\jmath }}+9{\vec {k}}}{25}}=\left(0.24{\vec {\imath }}-0.40{\vec {\jmath }}-0.18{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Esto nos da la aceleración tangencial

${\vec {a}}_{t}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}=\left(0.075{\vec {\imath }}+0.10{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

En forma escalar, proyectamos sobre la velocidad

$a_{t}={\frac {{\vec {a}}_{t}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {v}}|}}=-0.125\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

A partir de su módulo, dirección y sentido

Esta aceleración tangencial también puede calcularse observando que:

• Es tangente a la velocidad, es decir, es paralela a

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}=-{\frac {3.75{\vec {\imath }}+5{\vec {k}}}{6.25}}=-0.6{\vec {\imath }}-0.8{\vec {k}}$

• Tiene módulo

$\left|{\vec {a}}_{t}\right|=\left|{\vec {\alpha }}\right|\left|{\vec {r}}\right|=0.5\times 0.25=0.125\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

• Puesto que la aceleración angular ${\vec {\alpha }}$ es opuesta a la velocidad angular, la aceleración tangencial es opuesta a la velocidad.

Por tanto

${\vec {a}}_{t}=-|{\vec {a}}_{t}|{\vec {T}}=-0.125\left(-0.6{\vec {\imath }}-0.8{\vec {k}}\right)=\left(0.075{\vec {\imath }}+0.10{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Aceleración normal

A partir de su expresión vectorial

La parte normal de la aceleración en un movimiento circular es

${\vec {a}}_{n}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}$

lo que en este caso da

${\vec {a}}_{n}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-12&20&9\\-3.75&0.00&5.00\end{matrix}}\right|=\left(-100{\vec {\imath }}-93.75{\vec {\jmath }}-75{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

y en forma escalar

$a_{n}=\left|{\vec {a}}_{n}\right|=156.25\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

A partir de su módulo, dirección y sentido

La aceleración normal en este movimiento puede también calcularse observando que:

• Tiene por módulo

$|{\vec {a}}_{n}|=|{\vec {\omega }}|^{2}|{\vec {r}}|=25^{2}\times 0.25=156.25\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

• Su dirección es radial, es decir en la de

${\vec {u}}_{r}={\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}=0.64{\vec {\imath }}+0.60{\vec {\jmath }}-0.48{\vec {k}}$

• Su sentido es hacia adentro de la circunferencia, según el vector normal

${\vec {N}}=-{\vec {u}}_{r}=-0.64{\vec {\imath }}-0.60{\vec {\jmath }}+0.48{\vec {k}}$

Todo esto da

${\vec {a}}_{t}=156.25\left(-0.64{\vec {\imath }}-0.60{\vec {\jmath }}+0.48{\vec {k}}\right)=\left(-100{\vec {\imath }}-93.75{\vec {\jmath }}-75{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

y la forma escalar

$a_{n}=\left|{\vec {a}}_{n}\right|=156.25\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Vectores tangente y normal

Vector tangente

El vector tangente es el unitario en la dirección y sentido de la velocidad

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}=-{\frac {3.75{\vec {\imath }}+5{\vec {k}}}{6.25}}=-0.6{\vec {\imath }}-0.8{\vec {k}}$

Vector normal

El vector normal es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

${\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{|{\vec {a}}_{n}|}}=-0.64{\vec {\imath }}-0.60{\vec {\jmath }}+0.48{\vec {k}}$

que en el caso de un movimiento circular alrededor del origen es radial y hacia el centro de la circunferencia

${\vec {N}}=-{\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}$

Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura puede hallarse por la fórmula

$R={\frac {|{\vec {v}}|^{2}}{a_{n}}}$

pero en el caso de un movimiento circular alrededor del origen es simplemente la distancia a éste

$R=|{\vec {r}}|=0.25\,\mathrm {m}$

El centro de curvatura se puede hallar por

${\vec {r}}_{c}={\vec {r}}+R{\vec {N}}$

pero en el caso de un movimiento circular el centro de curvatura es el propio centro de la circunferencia, que en este caso es

${\vec {r}}_{c}={\vec {0}}$