Cálculo de velocidad media (CMR)

Enunciado

Una partícula describe un movimiento rectilíneo tal que su velocidad instantánea cumple la ley

$v(t)={\frac {v_{0}T}{t}}$

¿Cuánto vale la velocidad media entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=T\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=3T\,} ?

Solución

La velocidad media en un intervalo es igual al cociente entre el desplazamiento realizado en un intervalo y la duración de este intervalo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}}

La duración del intervalo es la diferencia entre el instante inicial final y el inicial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta t = 3T-T = 2T\,}

mientras que el desplazamiento es la suma de los desplazamientos infinitesimales, y por tanto igual a la integral de la velocidad instantánea

$\Delta x=\int _{T}^{3T}v(t)\mathrm {d} t=\int _{T}^{3T}{\frac {v_{0}T}{t}}\mathrm {d} t=v_{0}T\left(\ln(3T)-\ln(T)\right)=v_{0}T\ln(3)$

La velocidad media vale entonces

$v_{m}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {v_{0}T\ln(3)}{2T}}={\frac {v_{0}}{2}}\ln(3)$

cuyo valor numérico es

$v_{m}={\frac {\ln(3)}{2}}v_{0}=0.549v_{0}$