Cálculo de velocidad media (CMR)

Enunciado

Una partícula describe un movimiento rectilíneo tal que su velocidad instantánea cumple la ley

$v(t)={\frac {v_{0}T}{t}}$

¿Cuánto vale la velocidad media entre $t=T\,$ y $t=3T\,$?

Solución

La velocidad media en un intervalo es igual al cociente entre el desplazamiento realizado en un intervalo y la duración de este intervalo

$v_{m}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$

La duración del intervalo es la diferencia entre el instante inicial final y el inicial

$\Delta t=3T-T=2T\,$

mientras que el desplazamiento es la suma de los desplazamientos infinitesimales, y por tanto igual a la integral de la velocidad instantánea

$\Delta x=\int _{T}^{3T}v(t)\mathrm {d} t=\int _{T}^{3T}{\frac {v_{0}T}{t}}\mathrm {d} t=v_{0}T\left(\ln(3T)-\ln(T)\right)=v_{0}T\ln(3)$

La velocidad media vale entonces

$v_{m}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {v_{0}T\ln(3)}{2T}}={\frac {v_{0}}{2}}\ln(3)$

cuyo valor numérico es

$v_{m}={\frac {\ln(3)}{2}}v_{0}=0.549v_{0}$