5.2. Movimiento relativo en un sistema biela-manivela

Enunciado

Se tiene un sistema biela-manivela formado por dos barras de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L=50\,\mathrm{cm}} . La manivela (sólido “0”) gira alrededor de un punto O, extremo de una barra (sólido $1$) que podemos considerar fija. La biela (sólido “2”) está articulada a la manivela en un punto A, mientras que su otro extremo B está obligado a deslizar sobre la barra “1”.

En un instante dado la manivela forma con la barra un ángulo tal que $\mathrm {tg} (\theta )=4/3$ . En el mismo instante las derivadas de este ángulo valen ${\dot {\theta }}=3\,\mathrm {rad} /s$, ${\ddot {\theta }}=12\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} ^{2}$. Para este instante:

1. Calcule las velocidades ${\vec {v}}_{21}^{B}$, ${\vec {v}}_{20}^{B}$ y ${\vec {v}}_{01}^{B}$. Indique su dirección y sentido gráficamente.
2. Halle las aceleraciones ${\vec {a}}_{21}^{B}$, ${\vec {a}}_{20}^{B}$ y ${\vec {a}}_{01}^{B}$.

Introducción

En este problema se trata de hallar las velocidades y aceleraciones absoluta, relativa y de arrastre para un punto concreto en un instante dado. La idea es ilustrar el método de la composición de movimientos relativos para obtener las cantidades absolutas (entendidas como las del sólido 2 referido al sólido 1).

En este caso, no obstante, tanto la velocidad como la aceleración absolutas pueden hallarse directamente, puesto que conocemos la posición de B no en un solo instante, sino en cualquier momento.

Velocidad absoluta

Desde el punto del vista del sólido 1, el punto B realiza un movimiento en una dimensión a lo largo de la barra.

La posición en cada instante corresponde a la base de un triángulo isósceles. Empleando una base ligada al sólido 1, según los ejes indicados en la figura

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}=2L\cos(\theta)\vec{\imath}_1}

Derivando esta posición respecto al tiempo en el sistema ligado al sólido 1 obtenemos la velocidad absoluta del punto B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{21}=-2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1}

Sustituyendo los valores numéricos tenemos, para las razones trigonométricas en el instante fijado,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{tg}(\theta)=\frac{4}{3}\qquad\Rightarrow\qquad\cos(\theta)=\frac{3}{5}\qquad\qquad\mathrm{sen}(\theta)=\frac{4}{5}}

y de aquí

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{21} = -2(0.5\,\mathrm{m})(3\,\mathrm{rad}/\mathrm{s})\frac{4}{5}=-2.4\,\vec{\imath}_1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

Aceleración absoluta

Derivando la velocidad absoluta respecto al tiempo, calculamos la aceleración absoluta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{21}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^B_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(-2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1)\right|_1=(-2L\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)-2L\dot{\theta}^2\cos(\theta))\vec{\imath}_1}

Numéricamente tenemos para la aceleración absoluta

${\vec {a}}_{21}^{B}=(-5.4{\vec {\imath }}_{1}+7.2{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}+(-20.4{\vec {\imath }}_{1}+7.2{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}+(10.8{\vec {\imath }}_{1}-14.4{\vec {\jmath }}_{1}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=-15{\vec {\imath }}_{1}{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Velocidades

Velocidad de arrastre

La velocidad de arrastre, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{01}} , es la que tendría el punto B si perteneciera al sólido 0, medida desde el sólido 1. El sólido 0 realiza una rotación pura en torno a un eje perpendicular al plano del sistema y que pasa por el punto de articulación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{01} = \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB}}

La velocidad angular de este movimiento la da la variación del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} con el tiempo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\dot{\theta}\vec{k}_1}

siendo la posición del punto B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}=2L\cos(\theta)\vec{\imath}_1}

lo que nos da la velocidad de arrastre

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & \dot{\theta}\\ 2L\cos(\theta) & 0 & 0\end{matrix}\right| = 2L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_1}

Sustituyendo los valores numéricos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{01}=2(0.50\,\mathrm{m})(3\,\mathrm{rad}/\mathrm{s})\frac{3}{5}\vec{\jmath}_1 = 1.8\vec{\jmath}_1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

Velocidad relativa

La velocidad relativa ${\vec {v}}_{20}^{B}$ es la que tiene el punto B, como parte del sólido 2, respecto al sólido intermedio 0, que en este caso es la manivela.

En este caso, el movimiento es uno de rotación en torno a un eje perpendicular al plano del movimiento y que pasa por la articulación A

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{20}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AB}}

El vector de posición relativo, empleando de nuevo ejes ligados al sistema 1, es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=L\cos(\theta)\vec{\imath}_1-L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1}

La velocidad angular es perpendicular al plano del movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\vec{k}_1}

El valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}} nos es desconocido por ahora.

La velocidad relativa de B es entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{20}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & \omega_{20} \\ L\cos(\theta) & -L\,\mathrm{sen}(\theta) & 0 \end{matrix}\right| = \omega_{20}L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 +\omega_{20}L\cos(\theta)\vec{\jmath}_1}

El valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}} lo podemos obtener de que la velocidad angular absoluta debe ser suma de la relativa más la de arrastre.

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}$ ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}}

La velocidad angular de arrastre ya la conocemos. La absoluta la obtenemos observando que cuando la manivela gira un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} en sentido antihorario, la manivela gira el mismo ángulo en sentido horario, por tratarse de un triángulo isósceles. Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\vec{k}_1}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=-\dot{\theta}\vec{k}_1}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=-2\dot{\theta}\vec{k}_1}

No obstante, al mismo valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}} se puede llegar también directamente observando que el ángulo formado por biela y manivela es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi-2\theta} y derivando dicho ángulo respecto al tiempo.

Sustituyendo $\omega _{20}$ en la expresión de la velocidad queda entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{20}=-2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 -2\dot{\theta}L\cos(\theta)\vec{\jmath}_1}

El valor numérico de esta velocidad relativa es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{20}=(-2.4\vec{\imath}_1-1.8\vec{\jmath}_1)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

Velocidad absoluta

Una vez que tenemos la velocidad de arrastre y la relativa, hallamos la velocidad absoluta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{21}} sumando las expresiones correspondientes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{21}=\vec{v}^B_{20}+\vec{v}^B_{01} = (2L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_1)+(-2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 -2\dot{\theta}L\cos(\theta)\vec{\jmath}_1) = -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1}

que es la expresión a la que habíamos llegado al principio del problema, derivando la posición respecto al tiempo.

En forma numérica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{21}=\vec{v}^B_{20}+\vec{v}^B_{01} = (1.8\vec{\jmath}_1)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}+(-2.4\vec{\imath}_1-1.8\vec{\jmath}_1)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = (-2.4\vec{\imath}_1)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

Representación gráfica

Las tres velocidades poseen una sencilla interpretación geométrica:

Velocidad absoluta, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{21}}

Por tratarse de un movimiento unidimensional, la velocidad absoluta de B va en la dirección de la recta de movimiento, que es la de la barra fija.

Velocidad relativa, ${\vec {v}}_{20}^{B}$

Al ser una rotación en torno a un eje que pasa por A, esta velocidad es perpendicular al vector de posición relativo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}}

Velocidad de arrastre, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{01}}

Se trata de otra rotación, esta vez en torno a un eje que pasa por O. El vector velocidad es perpendicular al vector de posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}} , esto es, es normal a la barra.

Aceleraciones

Aceleración de arrastre

La aceleración de arrastre, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{01}} es la que tendría el punto B si perteneciera al sólido intermedio “0”.

Empleamos la expresión del campo de aceleraciones de un sólido:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{01}=\vec{a}^O_{01}+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OB}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB})}

La aceleración del punto O en el movimiento {01} es nula, por ser éste un punto fijo.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^O_{01}=\vec{0}}

La aceleración angular es igual a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\dot{\theta}\vec{k}_1)\right|_1 = \ddot{\theta}\vec{k}_1}

El término debido a esta aceleración vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & \ddot{\theta} \\ 2L\cos(\theta)& 0 & 0 \end{matrix}\right|=2L\ddot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_1}

El último término se simplifica desarrollando el doble producto vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB})=\overbrace{(\vec{\omega}_{01}\cdot\overrightarrow{OB})}^{=0} \vec{\omega}_{01}-\omega_{01}^2\overrightarrow{OB}=-2L\dot{\theta}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_1}

Sumando los tres términos hallamos la aceleración de arrastre

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{01}=-2L\dot{\theta}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_1+2L\ddot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_1}

Sustituyendo los valores numéricos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{01}=(-5.4\vec{\imath}_1+7.2\vec{\jmath}_1)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

Aceleración relativa

Para la aceleración relativa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{20}} empleamos la misma técnica teniendo en cuenta que se trata de una rotación alrededor de A.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{20}=\vec{a}^A_{20}+\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{AB}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AB})}

La aceleración del punto A es nula en el movimiento relativo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{20}=\vec{0}}

La aceleración angular de este movimiento es, teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_1=\vec{k}_0}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(-2\dot{\theta}\vec{k}_1)\right|_0 = -2\ddot{\theta}\vec{k}_1}

produciendo el término

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & -2\ddot{\theta} \\ L\cos(\theta)& -L\,\mathrm{sen}(\theta) & 0 \end{matrix}\right|=-2L\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}-2L\ddot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_1}

Desarrollando el doble producto vectorial de la velocidad angular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AB})=\overbrace{(\vec{\omega}_{20}\cdot\overrightarrow{AB})}^{=0} \vec{\omega}_{20}-\omega_{20}^2\overrightarrow{AB}=-4L\dot{\theta}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_1+4L\dot{\theta}^2\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1}

Sumando los tres términos obtenemos la aceleración relativa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{20}=-2L(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)+2\dot{\theta}^2\cos(\theta))\vec{\imath}_1-2L(\ddot{\theta}\cos(\theta)-2\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\jmath}_1}

Sustituyendo los valores numéricos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{20}=(-20.4\vec{\imath}_1+7.2\vec{\jmath}_1)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

Aceleración absoluta

Por último, para la aceleración absoluta empleamos el teorema de Coriolis

${\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {a}}_{20}^{B}+{\vec {a}}_{01}^{B}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{B}$

Nos queda por hallar el último término. Sustituyendo la velocidad relativa y desarrollando el doble producto vectorial

$2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{B}=2{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AB}})=-2({\vec {\omega }}_{01}\cdot {\vec {\omega }}_{20}){\overrightarrow {AB}}=4L{\dot {\theta }}^{2}\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}-4L{\dot {\theta }}^{2}\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}$

Sumando los tres términos obtenemos la aceleración absoluta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rcccc} \vec{a}^B_{21} & = & -2L(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)+2\dot{\theta}^2\cos(\theta))\vec{\imath}_1 & - & 2L(\ddot{\theta}\cos(\theta)-2\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\jmath}_1+ \\ & + & -2L\dot{\theta}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_1 & + & 2L\ddot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_1+\\ & + & 4L\dot{\theta}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_1& - & 4L\dot{\theta}^2\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1 = \\ & = & (-2L\ddot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)-2L\dot{\theta}^2\cos(\theta))\vec{\imath}_1&&\end{array} }

Por supuesto, dado que conocemos la velocidad absoluta de B en todo instante, podemos llegar a esta aceleración simplemente derivando la velocidad absoluta:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^B_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(-2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1)\right|_1=(-2L\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)-2L\dot{\theta}^2\cos(\theta))\vec{\imath}_1}

Numéricamente tenemos para la aceleración de Coriolis

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}=2\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & 3 \\ -2.4 & -1.8 & 0 \end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=(10.8\vec{\imath}_1-14.4\vec{\jmath}_1)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

y para la aceleración absoluta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{21}=(-5.4\vec{\imath}_1+7.2\vec{\jmath}_1)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}+(-20.4\vec{\imath}_1+7.2\vec{\jmath}_1)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}+(10.8\vec{\imath}_1-14.4\vec{\jmath}_1)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=-15\vec{\imath}_1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}