Se tiene un sistema biela-manivela formado por dos barras de longitud . La manivela (sólido “0”) gira alrededor de un punto O, extremo de una barra (sólido ) que podemos considerar fija. La biela (sólido “2”) está articulada a la manivela en un punto A, mientras que su otro extremo B está obligado a deslizar sobre la barra “1”.
En un instante dado la manivela forma con la barra un ángulo tal que . En el mismo instante las derivadas de este ángulo valen , . Para
este instante:
Calcule las velocidades , y . Indique su dirección y sentido gráficamente.
Halle las aceleraciones , y .
Introducción
En este problema se trata de hallar las velocidades y aceleraciones absoluta, relativa y de arrastre para un punto concreto en un instante dado. La idea es ilustrar el método de la composición de movimientos relativos para obtener las cantidades absolutas (entendidas como las del sólido 2 referido al sólido 1).
En este caso, no obstante, tanto la velocidad como la aceleración absolutas pueden hallarse directamente, puesto que conocemos la posición de B no en un solo instante, sino en cualquier momento.
Velocidad absoluta
Desde el punto del vista del sólido 1, el punto B realiza un movimiento en una dimensión a lo largo de la barra.
La posición en cada instante corresponde a la base de un triángulo isósceles. Empleando una base ligada al sólido 1, según los ejes indicados en la figura
Derivando esta posición respecto al tiempo en el sistema ligado al sólido 1 obtenemos la velocidad absoluta del punto B
Sustituyendo los valores numéricos tenemos, para las razones trigonométricas en el instante fijado,
y de aquí
Aceleración absoluta
Derivando la velocidad absoluta respecto al tiempo, calculamos la aceleración absoluta
Numéricamente tenemos para la aceleración absoluta
Velocidades
Velocidad de arrastre
La velocidad de arrastre, , es la que tendría el punto B si perteneciera al sólido 0, medida desde el sólido 1. El sólido 0 realiza una rotación pura en torno a un eje perpendicular al plano del sistema y que pasa por el punto de articulación
La velocidad angular de este movimiento la da la variación del ángulo con el tiempo
siendo la posición del punto B
lo que nos da la velocidad de arrastre
Sustituyendo los valores numéricos
Velocidad relativa
La velocidad relativa es la que tiene el punto B, como parte del sólido 2, respecto al sólido intermedio 0, que en este caso es la manivela.
En este caso, el movimiento es uno de rotación en torno a un eje perpendicular al plano del movimiento y que pasa por la articulación A
El vector de posición relativo, empleando de nuevo ejes ligados al sistema 1, es
La velocidad angular es perpendicular al plano del movimiento
El valor de nos es desconocido por ahora.
La velocidad relativa de B es entonces
El valor de lo podemos obtener de que la velocidad angular absoluta debe ser suma de la relativa más la de arrastre.
⇒
La velocidad angular de arrastre ya la conocemos. La absoluta la obtenemos observando que cuando la manivela gira un ángulo en sentido antihorario, la manivela gira el mismo ángulo en sentido horario, por tratarse de un triángulo isósceles. Por tanto
⇒
No obstante, al mismo valor de se puede llegar también directamente observando que el ángulo formado por biela y manivela es y derivando dicho ángulo respecto al tiempo.
Sustituyendo en la expresión de la velocidad queda entonces
El valor numérico de esta velocidad relativa es
Velocidad absoluta
Una vez que tenemos la velocidad de arrastre y la relativa, hallamos la velocidad absoluta sumando las expresiones correspondientes
que es la expresión a la que habíamos llegado al principio del problema, derivando la posición respecto al tiempo.
En forma numérica
Representación gráfica
Las tres velocidades poseen una sencilla interpretación geométrica:
Velocidad absoluta,
Por tratarse de un movimiento unidimensional, la velocidad absoluta de B va en la dirección de la recta de movimiento, que es la de la barra fija.
Velocidad relativa,
Al ser una rotación en torno a un eje que pasa por A, esta velocidad es perpendicular al vector de posición relativo
Velocidad de arrastre,
Se trata de otra rotación, esta vez en torno a un eje que pasa por O. El vector velocidad es perpendicular al vector de posición , esto es, es normal a la barra.
Aceleraciones
Aceleración de arrastre
La aceleración de arrastre, es la que tendría el punto B si perteneciera al sólido intermedio “0”.
Empleamos la expresión del campo de aceleraciones de un sólido:
La aceleración del punto O en el movimiento {01} es nula, por ser éste un punto fijo.
La aceleración angular es igual a
El término debido a esta aceleración vale
El último término se simplifica desarrollando el doble producto vectorial
Sumando los tres términos hallamos la aceleración de arrastre
Sustituyendo los valores numéricos
Aceleración relativa
Para la aceleración relativa empleamos la misma técnica teniendo en cuenta que se trata de una rotación alrededor de A.
La aceleración del punto A es nula en el movimiento relativo
La aceleración angular de este movimiento es, teniendo en cuenta que
produciendo el término
Desarrollando el doble producto vectorial de la velocidad angular
Sumando los tres términos obtenemos la aceleración relativa
Sustituyendo los valores numéricos
Aceleración absoluta
Por último, para la aceleración absoluta empleamos el teorema de Coriolis
Nos queda por hallar el último término. Sustituyendo la velocidad relativa y desarrollando el doble producto vectorial
Sumando los tres términos obtenemos la aceleración absoluta
Por supuesto, dado que conocemos la velocidad absoluta de B en todo instante, podemos llegar a esta aceleración simplemente derivando la velocidad absoluta:
Numéricamente tenemos para la aceleración de Coriolis