Enunciado
La figura muestra un sistema mecánico formado por un engranaje que rueda sobre una cremallera y está conectado a un deslizador con una ranura que desliza respecto al pasador en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} . El deslizador está acoplado a un muelle, de constante elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} , que se encuentra relajado cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=2R} . En ese instante se tiene Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=0} . Las masas del engranaje, el deslizador y la cremallera son la misma e igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} . El radio de giro del engranaje es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_c} . El contacto entre el pasador y la ranura es liso. El mecanismo es accionado por una fuerza aplicada sobe la cremallera como se indica en la figura.
- Encuentra el número de grados de libertad y elige un conjunto de coordenadas generalizadas para describir el movimiento.
- Encuentra las ecuaciones diferenciales del movimiento.
Solución
Grados de libertad
En el dibujo se identifican tres coordenadas: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_r} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} . Sin embargo el problema tiene sólo dos grados de libertad. Podemos verlo a partir del número de ligaduras que se imponen entre los sólidos. Tenemos tres sólidos haciendo un movimiento plano, luego a priori hay 9 grados de libertad, 3 por cada sólido. Las ligaduras son
- {01}: traslación: 2 ligaduras.
- {31}: traslación: 2 ligaduras.
- {20}: rodadura sin deslizamiento en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} : 2 ligaduras.
- {32}: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{23}} debe ser paralela a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y_1} : 1 ligadura.
Esto hace en total 7 ligaduras. Por tanto el número de grados de libertad es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r = 9 -7 = 2. }
Relación entre las coordenadas
Vamos a obtener las reducciones cinemáticas de los movimientos relativos para encontrar la relación entre las ligaduras.
Movimiento {01}
Es la traslación de la cremallera respecto al suelo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = \vec{0}\,\qquad\qquad \vec{v}_{01} = \dot{x}_r\,\vec{\imath}_1. }
Al ser una traslación no hay que especificar el punto en la velocidad.
Movimiento {31}
También es una traslación respecto al suelo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{31} = \vec{0}\,\qquad\qquad \vec{v}_{31} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1. }
Movimiento {20}
Es una rodadura sin deslizamiento en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20} = -\dot{\theta}\,\vec{k}_1, \qquad\qquad \vec{v}^{\,C}_{20}=\vec{0}. }
Movimiento {23}
Este es el movimiento que nos va a dar la relación que buscamos. La ligadura es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{23} \parallel \vec{\jmath}_1. }
Usando composición de movimientos tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{23} = \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{v}^{\,B}_{13} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{v}^{\,B}_{01} - \vec{v}^{\,B}_{31}. }
Para cada movimiento tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}_{01} = \dot{x}_r\,\vec{\imath}_1,\\ \\ \vec{v}^{\,B}_{31} = \vec{v}_{31} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1,\\ \\ \vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{v}^{\,C}_{20} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CB} = (-\dot{\theta}\,\vec{k}_1)\times\left(r\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + (R+r\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1 \right) = \dot{\theta}\,(R+r\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 -r\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }
Entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{23} = (\dot{x}_r - \dot{x} + \dot{\theta}\,(R + r\cos\theta))\,\vec{\imath}_1 - r\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1. }
La componente en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_1} tiene que ser cero. Por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}_r = \dot{x} - \dot{\theta}\,(R+r\cos\theta). }
Ecuaciones de movimiento
Escogemos el conjunto de coordenadas generalizadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {x,\,\theta}} . El motivo la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_r} no aparece en la energía potencial.
Energía cinética
Cremallera
Es una traslación pura. Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_0 = \dfrac{1}{2}m\dot{x}_r^2 = \dfrac{1}{2}m(\dot{x} -\dot{\theta}\,(R+r\cos\theta)). }
Deslizador
También es una traslación pura. Entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_3 = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2. }
Disco
Pasamos por el centro de masas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_2 = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,A}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I|\vec{\omega}_{21}|^2. }
La velocidad del centro es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{v}^{\,A}_{21} & = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{v}^{\,A}_{01},\\ & \vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{v}^{\,C}_{20} + \vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CA} = R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1,\\ & \vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}_{01} = \dot{x}_r\,\vec{\imath}_1. \end{array} }
Entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21} = (\dot{x} -r\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 }
El momento de inercia es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = mk^2, }
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} es el radio de giro del engranaje. Entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_2 = \dfrac{1}{2}m\,\left(k^2\dot{\theta}^2 + (\dot{x}-r\dot{\theta}\cos\theta)^2\right) }
Energía cinética total
Haciendo la suma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = T_0 + T_2 + T_3 = \dfrac{1}{2}m\,\left( 3\dot{x}^2 - 2(R+2r\cos\theta)\dot{x}\dot{\theta} + (k^2+R^2+2r\cos\theta(R+r\cos\theta))\dot{\theta}^2. \right) }
Energía potencial
La energía potencial gravitatoria es constante, pues los centros de masas de los tres sólidos se mueven siempre en horizontal. Podemos entonces obviar la energía potencial gravitatoria, pues al ser constante no va a contribuir en la ecuaciones de Lagrange. La única energía potencial relevante es la del muelle
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U = \dfrac{1}{2}k\,(x-2R)^2. }
Lagrangiana
La función de Lagrange es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = T-U = \dfrac{1}{2}m\left(3\dot{x}^2 - 2(R+2r\cos\theta)\dot{x}\dot{\theta} + (k^2+R^2+2r\cos\theta(R+r\cos\theta))\dot{\theta}^2\right) - \dfrac{1}{2}k\,(x-2R)^2. }
Fuerza generalizda
Hay una fuerza no conservativa, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=-F_0\,\vec{\imath}_1} , actuando sobre la cremallera que va a dar una contribución a la fuerza generalizada. Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} Q^{NC}_x = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}_{01}}{\partial\dot{x}} = (-F_0\,\vec{\imath}_1)\cdot(\vec{\imath}_1) =-F_0\\ \\ Q^{NC}_{\theta} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}_{01}}{\partial\dot{\theta}} = (-F_0\,\vec{\imath}_1)\cdot(-(R+r\cos\theta)\,\vec{\imath}_1) = F_0(R+r\cos\theta). \end{array} }
Ecuaciones de movimiento
Escribimos ahora las ecuaciones de Lagrange
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial x} = Q^{NC}_x, \\ \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial \theta} = Q^{NC}_{\theta}. \end{array} }
Haciendo las derivadas obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} 2r\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta + 3\ddot{x} - (R+2r\cos\theta)\ddot{\theta} = -\dfrac{F_0}{m} \\ \\ (k^2+R^2+2r\cos\theta\,(R+r\cos\theta))\ddot{\theta} - (R+2r\cos\theta)(r\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta + \ddot{x}) = -\dfrac{F_0}{m}(R+r\cos\theta) \end{array} }
