Disco empujando una placa (Ene. 2019)

Enunciado

Un disco homogéneo de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} y masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} . El disco empuja una placa homogénea cuadrada (sólido "0") de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} y lados Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2h} . La placa desliza sobre el mismo eje fijo. El contacto en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} es liso. Sobre el disco actúa un par de fuerzas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\tau} = -\tau_0t/T\,\vec{k}} , siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tau_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T} constantes con dimensiones de momento de fuerza y tiempo, respectivamente. En el instante inicial el centro del disco estaba sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_1} . El disco y la placa mantienen siempre el contacto. El contacto entre la placa y el suelo es liso. Se cumple Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R>h} .

1. Escribe la reducción cinemática de los movimientos {21} y {01}.
2. Dibuja el diagrama de fuerzas y pares que actúan sobre cada sólido.
3. Aplicando los teoremas fundamentales de la Dinámica Vectorial, encuentra las aceleraciones de los centros de masas de los dos sólidos.
4. Encuentra el valor de todas las fuerzas que actúan sobre los sólidos. ¿En que instante de tiempo la base de la placa empieza a separarse del suelo?

Solución

Reducciones cinemáticas

Los dos sólido hacen un movimiento plano. La placa realiza una traslación, por lo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = \vec{0}} . Sólo conocemos a priori la dirección de la velocidad de traslación, por lo que la llamamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{01} = v\,\vec{\imath}} .

El disco realiza una rodadura sin deslizamiento. Observando la figura podemos deducir lo siguiente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{0}, \qquad \vec{v}^{\,G_2}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1. }

Usando el Teorema de Chasles tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G_2}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}_2 = \vec{0} + (-\dot{\theta}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_1) = R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1. }

Comparando obtenemos la condición del vinculo interligado impuesto por la rodadura sin deslizamiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta} = \dot{x}/R \Longrightarrow \vec{\omega}_{21} = -\dfrac{\dot{x}}{R}\,\vec{k}. }

Hay un vínculo prohibitivo entre los dos sólido en el punto $B$. La velocidad relativa entre ellos debe ser paralela la la placa, para que los sólidos no se interpenetren. Es decir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{20} \parallel \vec{\jmath}_1. }

Aplicando las leyes de composición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{v}^{\,B}_{20} & = \vec{v}^{\,B}_{21} - \vec{v}^{\,B}_{01} = (\dot{x}-v)\,\vec{\imath}_1 - \dot{x}\,\vec{\jmath}_1.\\ & \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,G_2}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{G_2B} = -\dot{x}\,\vec{\jmath}_1,\\ & \vec{v}^{\,B}_{01} = v\,\vec{\imath}_1. \end{array} }

La componente en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_1} de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{20}} debe ser nula, es decir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = \dot{x}. }

La reducciones cinemáticas son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{v}^{\,G_2}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1, & \vec{\omega}_{21} = -\dfrac{\dot{x}}{R}\,\vec{k},\\ &\\ \vec{v}_{01} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1, & \vec{\omega}_{01} = \vec{0}. \end{array} }

El valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{01}} podía haberse obtenido directamente de la figura, observando que el centro del disco está siempre en la misma posición relativa a los puntos de la placa, por lo que sus velocidades absolutas son iguales.

Fuerzas y pares

La figura de la derecha muestra las fuerzas y pares que actúan sobre cada sólido. El contacto entre la placa y el suelo es liso, pero entre el disco y el suelo tiene que ser rugoso, pues en caso contrario no podría haber rodadura sin deslizamiento.

Las fuerzas que actúan sobre la placa son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} \vec{P}_0 = -mg\,\vec{\jmath}_1 & (G_0)\\ \vec{B}_{02} = B\,\vec{\imath}_1 & (B)\\ \vec{E}_{01} = E\,\vec{\jmath}_1 & (E) \end{array} }

La fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}_{01}} es la fuerza equivalente al sistema de fuerzas paralelas que ejerce el suelo sobre el lado inferior de la placa. La posición del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E} introduce una incógnita: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta} .

Las fuerzas y pares sobre el disco son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} \vec{P}_2 = -mg\,\vec{\jmath}_1 & (G_2)\\ \vec{\tau} = -(\tau_0 t/T)\,\vec{k} &\\ \vec{B}_{20} = -B\,\vec{\imath}_1 & (B)\\ \vec{A}_{21} = A\,\vec{\jmath}_1 & (A)\\ \vec{A}^R_{20} = A_R\,\vec{\imath}_1 & (A) \end{array} }

La fuerza de rozamiento empuja hacia la derecha. Es esta fuerza la que hace avanzar el disco.

El problema tiene una incógnita asociada al movimiento y cinco asociadas a la desvinculación: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{x, B, A, A_R, E, \delta\}} .

Aceleración de los centros de masa

Aplicand los Teoremas Fundamentales de la Dinámica Vectorial, y al ser un movimiento plano, obtenemos tres ecuaciones por cada sólido.

T.C.M.

La aceleración del CM del disco es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{G_2}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{G_2}_{21}}{\mathrm{d} t}\right|_1 =\ddot{x}\,\vec{\imath}_1 }

El T.C.M. nos da dos ecuaciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}^{G_2}_{21} = \vec{P}_2 + \vec{B}_{20} + \vec{A}_{21} + \vec{A}^R_{21} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lclr} (X_1) & \to & m\ddot{x} = A_R - B & (1)\\ (Y_1) & \to & 0 = -mg + A & (2) \end{array} \right. }

Para el sólido "0" tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{G_0}_{01} = \vec{a}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{01}}{\mathrm{d} t}\right|_1 =\ddot{x}\,\vec{\imath}_1 }

Aplicando el T.C.M.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}_{01} = \vec{P}_0 + \vec{B}_{02} + \vec{E}_{01} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lclr} (X_1) & \to & m\ddot{x} = B & (3)\\ (Y_1) & \to & 0 = -mg + E & (4) \end{array} \right. }

T.M.C.

El momento cinético del disco respecto a su CM es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_{G_2} = I\vec{\omega}_{21} = -\dfrac{mR^2}{2}\dfrac{\dot{x}}{R}\,\vec{k} = -\dfrac{mR}{2}\dot{x}\,\vec{k} }

La derivada respecto del tiempo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_{G_2}}{\mathrm{d} t}\right|_1 = -\dfrac{mR}{2}\ddot{x}\,\vec{k} }

La única fuerza que crea momento respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_2} es la fuerza de rozamiento. El T.M.C. nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_{G_2}}{\mathrm{d} t}\right|_1 = \vec{\tau} + \overrightarrow{G_2A}\times\vec{A}^R_{21} \longrightarrow -\dfrac{mR}{2}\ddot{x} = -\dfrac{\tau_0 t}{T} + A_RR \qquad (5) }

La placa no rota, por lo que su momento cinético respecto al centro de masas es nulo y su derivada también. Aplicando el T.M.C. en su CM obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0} = \overrightarrow{G_0B}\times\vec{B}_{02} + \overrightarrow{G_0E}\times\vec{E}_{01} }

Para calcular los momentos lo mas sencillo es recordar que las fuerzas que actúan sobre sólidos rígidos son vectores deslizantes. Por tanto, se pueden desplazar sobre sus rectas soporte como se indica en la figura. Tenemos entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{G_0B}\times\vec{B}_{02} = \left((R-h)\,\vec{\jmath}_1 \right)\times(B\,\vec{\imath}_1) = -(R-h)B\,\vec{k}\\ \overrightarrow{G_0E}\times\vec{E}_{01} = \left(\delta\,\vec{\imath}_1 \right)\times(E\,\vec{\jmath}_1) = E\delta\,\vec{k} \end{array} }

Por tanto, la ecuación que obtenemos es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E\delta -(R-h)B=0 \qquad (6) }

Ya tenemos las seis ecuaciones que necesitamos. Para obtener

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}}

podemos hacer

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1) + (3) - \dfrac{1}{R}(5) \Longrightarrow \ddot{x} = \dfrac{2\tau_0}{3mR} \dfrac{t}{T}. }

Las aceleraciones de los CM de los sólidos son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{G_2}_{21} = \vec{a}_{01} = \dfrac{2\tau_0}{5mR} \dfrac{t}{T}\,\vec{\imath }_1. }

Momento en que se levanta la placa

Despejando en las otra ecuaciones obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{A}_{21} = mg\,\vec{\jmath}_1,\\ \\ \vec{A}^R_{21} = \dfrac{4\tau_0}{5R}\dfrac{t}{T}\,\vec{k},\\ \\ \vec{B}_{02} = -\vec{B}_{20} = \dfrac{2\tau_0}{5R}\dfrac{t}{T}\,\vec{\imath}_1,\\ \\ \vec{E}_{21} = mg\,\vec{\jmath}_1,\\ \\ \delta = \dfrac{4\tau_0(R-h)}{5mgR}\dfrac{t}{T}. \end{array} }

La placa empieza a levantarse cuando el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E} coincide con el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} . En ese momento la reacción vincular del suelo es incapaz de compensar el par ejercido por el disco sobre la placa:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta = h \Longrightarrow t_V = T\dfrac{5mgR}{4\tau_0(R-h)}. }

Es interesante observar que si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=h} este tiempo se hace infinito, y si es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R<h} se hace negativo. Esto quiere decir que en estos casos la placa nunca empieza a volcar. Para que esto ocurra es necesario que se cumpla Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R>h} .